Exercices d'intégration et probabilités, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices d'intégration et probabilités, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant l'intégration et les probabilités. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Borel-Cantelli, Loi des grands nombres, Estimation de la variance.
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UFR Mathématiques Université Rennes 1 Licence 3ème année Année 2006/2007

Intégration et probabilités - TD 8

Exercice 1. De la loi uniforme aux lois discrètes 1. Soient X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1] et p ∈]0, 1[. Quelle est la loi de Y = 1{X≤p} ?

2. Construire à l’aide de X une variable aléatoire Z prenant les valeurs a, b et c avec probabilité p, q et r ; p, q, r sont trois réels de [0, 1] tels que p+ q + r = 1.

Exercice 2. Calculs classiques Calculer la moyenne, la variance ainsi que la série génératrice de la variable aléatoire X dans les cas suivants :

1. X suit la loi de Bernoulli de paramètre p ;

2. X suit la loi binomiale de paramètres n et p ;

3. X suit la loi géométrique de paramètre p ;

4. X suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0.

Même question en remplaçant série génératrice par fonction caractéristique :

1. X de loi exponentielle de paramètre λ > 0 ;

2. X de loi uniforme sur [a, b] ;

3. X de loi gaussienne N (m,σ2).

Exercice 3. Fonction de répartition Soit X une v.a.r. de fonction de répartition F avec F (x) = 0 si x < 0, F (x) = x/4 si 0 ≤ x < 1, F (x) = x/2 si 1 ≤ x < 2 et F (x) = 1 si x ≥ 2. 1. Tracez le graphe de F

2. Calculer P(X = 1/2), P(X = 1), P(X ∈]1/2, 3/2]). 3. X possède-t-elle une densité ?

Exercice 4. Soit X de loi exponentielle de moyenne 1. Déterminer la fonction de répartition de min(X, 1/X).

Exercice 5. Soient D une partie dense de R, X et Y deux variables aléatoires réelles. On suppose que, pour tout t ∈ D, P({X ≤ t}) = P({Y ≤ t}). Montrer que X et Y ont la même loi.

Exercice 6. Calculs de lois À quelle condition sur α, la fonction p définie par p(x) = αxα−1 si 0 < x < 1, p(x) = 0 sinon est-elle une densité de probabilité ? Montrer que la loi de Y = −α ln(X) ne dépend pas de α.

Exercice 7. Variables aléatoires discrètes Soit X une variable aléatoire dans Z∗ de loi donnée par

∀k ∈ Z∗, P(X = k) = 2−(|k|+1).

On définit la variable aléatoire Y en posant

Y (ω) =

{ X(ω) si X(ω) ≥ 0, −X(ω) + 1 si X(ω) < 0.

Déterminer la loi de Y .

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Exercice 8. ♣ Inégalité de Chernov Soit X une variable aléatoire. Montrer que

∀t ∈ R, P(X ≥ t) ≤ inf λ≥0

e−λt E [ eλX

] .

Que raconte cette inégalité si X suit la loi uniforme sur [0, 1] ? la loi de Cauchy ? la loi normale N (0, 1) ?

Exercice 9. ♣ Méthode d’inversion Soit F une fonction de répartition. Pour tout u ∈]0, 1[, on note

G(u) = inf{t ∈ R : F (t) ≥ u}.

1. Montrer que G est bien définie sur ]0, 1[, croissante et continue à gauche.

2. Établir l’équivalence : F (t) ≥ u⇐⇒ t ≥ G(u). 3. Soit U de loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer la loi de G(U).

Exercice 10. ♣ Les moments caractérisent-ils la loi ? 1. Soit X une variable aléatoire réelle telle que :

∀λ > 0, E [ eλ|X|

] < +∞. (1)

(a) Soit z ∈ C. Montrer que ezX et e|z||X| sont intégrables. (b) Montrer que, pour tout z ∈ C,

E [ ezX

] = ∑ n≥0

zn E [Xn] n!

.

2. SoientX et Y deux variables aléatoires vérifiant la condition (1) telles que, pour tout n ∈ N∗, E [Xn] = E [Y n]. Montrer que X et Y ont même loi.

3. Soit X une variable aléatoire normale centrée réduite c’est-à-dire de densité (2π)−1/2 e−x 2/2.

(a) Déterminer la loi de Y = eX . On cherchera la densité p de Y .

(b) Pour |a| ≤ 1, on note pa(x) = p(x) (1 + a sin(2π lnx)). Montrer que pa est une densité de probabilité. (c) Soit Ya de densité pa. Montrer que, pour tout |a| ≤ 1, Ya a des moments de tous les ordres et que, pour

tout n ∈ N∗, E [Y na ] = E [Y n]. (d) Montrer que si a 6= 0, Ya et Y n’ont pas la même loi. (e) Conclusion.

Exercice 11. Loi d’un couple et lois marginales Soit Z = (X,Y ) un couple aléatoire de densité p donnée par p(x, y) = ke−y si 0 < x < y et p(x, y) = 0 sinon.

1. (a) Dessiner le domaine du plan sur lequel p n’est pas nulle. Calculer k.

(b) Déterminer les densités marginales de Z.

2. Déterminer la loi de T = Y −X.

Exercice 12. Loi d’un couple Soit (U, V ) un couple aléatoire de densité 1[0,1](u)1[0,1](v).

On pose X = √ −2 lnU cos(2πV ) et Y =

√ −2 lnU sin(2πV ). Déterminer la loi du couple (X,Y ).

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