Exercices de géométrie 1, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur le système de numération. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien, l'espace vectoriel sur R.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nice juin 1976 \

EXERCICE 1

1. On considère l’entier naturel n qui s’écrit 5 3 x 4 dans le système de numéra- tion de base huit. Déterminer x de telle sorte que :

a. n soit divisible par 7 ;

b. n soit divisible par 6.

En déduire qu’il existe x tel que n soit divisible à la fois par 6 et par 7.

2. On prend x = 2. Déterminer l’écriture décimale de n. Quel est le nombre de diviseurs de n dans N ? Trouver le plus petit nombre entier naturel non nul par lequel il faut multiplier n pour que le produit soit un carré.

EXERCICE 2

On considère l’équation

z ∈C, z2+ (−6+ i)z+7+3i= 0

1. Résoudre l’équation.

2. On appelle z1 la solution dont une détermination de l’argument est π

4 et z2

l’autre solution.

Soit P un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Soit la si- militude directe de P qui, au point d’affixe −2, associe le point d’affixe 1 et, au point d’affixe z1, associe le point d’affixe z2. Déterminer le centre, l’angle et le rapport de s̃.

PROBLÈME

Partie A

Soit E un espace vectoriel sur R de dimension deux. On donne un vecteur non nul −→ u

de E, et une application linéaire de E dans R (forme linéaire) ϕ telle que ϕ (

−→ u

)

6= 0.

1. Démontrer que le noyau de ϕ est de dimension un.

2. On définit une application f de E dans E par

f : E → E −→ v 7−→

−→ v +ϕ

(

−→ v

)

· −→ u

Démontrer que f est une application linéaire et que l’ensemble des vecteurs de E invariants par f est une droite vectorielle. Soit D la droite vectorielle en-

gendrée par −→ u . Montrer que f (D)⊂D.

3. Démontrer que f admet une application réciproque si, et seulement si,

ϕ (

−→ u

)

6= −1 et que f est involutive si, et seulement si, ϕ (

−→ u

)

=−2.

4. On suppose que E est euclidien et que ∥

−→ u

∥ = 1. On considère (

−→ u ,

−→ u

)

base

orthonormée de E. On suppose que ϕ vérifie ϕ (

−→ u

)

=−2 et ϕ (−→ u

)

= 0.

Déterminer la matrice de f dans la base (

−→ u ,

−→ u

)

. En déduire la nature de f .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

5. Soit E un espace affine sur l’espace vectoriel E, et A un point de E . On consi- dère l’application

F : E → E M 7−→ M

M ′ est défini par −−−−→ MM ′ =ϕ

(

−−→ AM

)

· −→ u .

Démontrer que F est une application affine. Quelle est l’application linéaire associée ?

Partie B

On rappelle que l’ensemble des fonctions numériques définies sur R, noté F (R, R), muni des lois habituelles (addition et multiplication par un réel), est un espace vec- toriel sur R. Soit E l’ensemble des fonctions fa, b appartenant à F (R, R), (a ; b) parcourant R

2, définies par :

x ∈R, fa, b(x)= axe −x

+ bex

ex +1 .

1. Démontrer que E est un espace vectoriel sur R de dimension 2.

2. Soit P un plan affine euclidien et (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé de P.

Étudier f0, 1 et tracer sa courbe représentative C dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Démontrer que f0, 1 admet une fonction réciproque définie sur un intervalle que l’on précisera, continue et strictement croissante sur cet intervalle. Expri- mer cette fonction réciproque f −10, 1.

3. Démontrer que, pour tout entier n positif :

x ∈R, f (n)1, 0(x)= (−1) ne−x (xn),

f (n)1, 0 désignant la fonction dérivée n-ième de f1, 0.

4. Soit ϕ : E → R

fa, b 7−→

∫Log2

0 fa, b(x)dx

Soit , β une fonction appartenant à E telle que

(α, β) 6= (0, 0) et ϕ (

, β )

6= 0.

On considère f : E E

fa, b 7−→ fa, b +ϕ (

fa, b )

· , β

Démontrer que f est involutive si et seulement si :

α

2 (1−Log2)+βLog

3

2 +2= 0.

Nice 2 juin 1976

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