Exercices de géométrie 1, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercices de géométrie 1, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (35.6 KB)
2 pages
44Numéro de visites
Description
Exercices de géométrie sur le système de numération. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien, l'espace vectoriel sur R.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
NiceCjuin1976.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nice juin 1976 \

EXERCICE 1

1. On considère l’entier naturel n qui s’écrit 5 3 x 4 dans le système de numéra- tion de base huit. Déterminer x de telle sorte que :

a. n soit divisible par 7 ;

b. n soit divisible par 6.

En déduire qu’il existe x tel que n soit divisible à la fois par 6 et par 7.

2. On prend x = 2. Déterminer l’écriture décimale de n. Quel est le nombre de diviseurs de n dans N ? Trouver le plus petit nombre entier naturel non nul par lequel il faut multiplier n pour que le produit soit un carré.

EXERCICE 2

On considère l’équation

z ∈C, z2+ (−6+ i)z+7+3i= 0

1. Résoudre l’équation.

2. On appelle z1 la solution dont une détermination de l’argument est π

4 et z2

l’autre solution.

Soit P un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Soit la si- militude directe de P qui, au point d’affixe −2, associe le point d’affixe 1 et, au point d’affixe z1, associe le point d’affixe z2. Déterminer le centre, l’angle et le rapport de s̃.

PROBLÈME

Partie A

Soit E un espace vectoriel sur R de dimension deux. On donne un vecteur non nul −→ u

de E, et une application linéaire de E dans R (forme linéaire) ϕ telle que ϕ (

−→ u

)

6= 0.

1. Démontrer que le noyau de ϕ est de dimension un.

2. On définit une application f de E dans E par

f : E → E −→ v 7−→

−→ v +ϕ

(

−→ v

)

· −→ u

Démontrer que f est une application linéaire et que l’ensemble des vecteurs de E invariants par f est une droite vectorielle. Soit D la droite vectorielle en-

gendrée par −→ u . Montrer que f (D)⊂D.

3. Démontrer que f admet une application réciproque si, et seulement si,

ϕ (

−→ u

)

6= −1 et que f est involutive si, et seulement si, ϕ (

−→ u

)

=−2.

4. On suppose que E est euclidien et que ∥

−→ u

∥ = 1. On considère (

−→ u ,

−→ u

)

base

orthonormée de E. On suppose que ϕ vérifie ϕ (

−→ u

)

=−2 et ϕ (−→ u

)

= 0.

Déterminer la matrice de f dans la base (

−→ u ,

−→ u

)

. En déduire la nature de f .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

5. Soit E un espace affine sur l’espace vectoriel E, et A un point de E . On consi- dère l’application

F : E → E M 7−→ M

M ′ est défini par −−−−→ MM ′ =ϕ

(

−−→ AM

)

· −→ u .

Démontrer que F est une application affine. Quelle est l’application linéaire associée ?

Partie B

On rappelle que l’ensemble des fonctions numériques définies sur R, noté F (R, R), muni des lois habituelles (addition et multiplication par un réel), est un espace vec- toriel sur R. Soit E l’ensemble des fonctions fa, b appartenant à F (R, R), (a ; b) parcourant R

2, définies par :

x ∈R, fa, b(x)= axe −x

+ bex

ex +1 .

1. Démontrer que E est un espace vectoriel sur R de dimension 2.

2. Soit P un plan affine euclidien et (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé de P.

Étudier f0, 1 et tracer sa courbe représentative C dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Démontrer que f0, 1 admet une fonction réciproque définie sur un intervalle que l’on précisera, continue et strictement croissante sur cet intervalle. Expri- mer cette fonction réciproque f −10, 1.

3. Démontrer que, pour tout entier n positif :

x ∈R, f (n)1, 0(x)= (−1) ne−x (xn),

f (n)1, 0 désignant la fonction dérivée n-ième de f1, 0.

4. Soit ϕ : E → R

fa, b 7−→

∫Log2

0 fa, b(x)dx

Soit , β une fonction appartenant à E telle que

(α, β) 6= (0, 0) et ϕ (

, β )

6= 0.

On considère f : E E

fa, b 7−→ fa, b +ϕ (

fa, b )

· , β

Démontrer que f est involutive si et seulement si :

α

2 (1−Log2)+βLog

3

2 +2= 0.

Nice 2 juin 1976

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome