Exercices de géométrie 1, Exercices de Géométrie analytique et calcul. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de géométrie 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la dérivée de la fonction f, le logarithme népérien.
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[ Baccalauréat C Reims juin 1971 \

EXERCICE 1

1. Calculer la dérivée de la fonction f qui, à x supérieur à 1, fait correspondre

f (x)= Log (Log x),

où Log désigne le logarithme népérien.

2. Établir les inégalités suivantes :

0< Log [Log (k+1)]−Log [Logk]< kLogk

pour tout k entier supérieur ou égal à 2, en appliquant le théorème des ac- croissements finis à f entre k et (k+1).

3. On pose

Sn = 1

2Log2 +

1

3Log3 + . . .+

1

nLogn

Utilisant la question 2, établir que Sn →+∞ quand n→+∞.

EXERCICE 2

1. Établir que (

24n2+8n )

est divisible par 16, quel que soit l’entier n positif ou nul.

En déduire que (2n+1)4 est congru à 1modulo 16.

2. Montrer que, si a est un entier positif ou nul, a4 est congru à 1 ou à 0, modulo 16.

En déduire que, si le nombre 16n + 15 (n entier positif ou nul) est mis sous forme d’une somme de k puissances quatrièmes d’entiers ; soit

16n+15 = x41 + x 4 2+ . . .+ x

4 k ,

alors, nécessairement, il faut k > 15.

PROBLÈME

(P) est un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

; soit Ox et Oy les axes

associés. Dans (P) ondonne les points A(d ; 0) et B(−d ; 0),d étant unnombre réel strictement positif. Dans tout le problème, k et α sont deux nombres réels qui satisfont aux conditions générales

k > 0, − π

2 <α<+

π

2

et éventuellement à des conditions supplémentaires, qui seront précisées par l’énoncé.

Partie A

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

Au couple (k ; α) on fait correspondre le pointm de (P) dont les coordonnées sont

(1)

x = d 1−k

1+k y = dtg

α

2 .

1. Montrer quem appartient à l’intérieur (I) d’un carré, défini par

d < x < d et −d < y < d .

2. Réciproquement, montrer que, m étant donné dans (I), les formules (1) lui font correspondre un couple (k ; α) unique.

Quel couple correspond au point O de (P) ?

Partie B

1. Déterminer l’équation du cercle (C ), ensemble des points M de (P) tels que MA

MB = k (k donné différent de 1).

Déterminer l’équation du cercle (Γ), ensemble des points M de (P) tels que (MA,MB)≡α [modulo π] (α donné différent de 0).

(On pourra exprimer tgα en fonction de x, y et d . On trouvera l’équation de (Γ) :

x2+ y2+2dycotgαd2 = 0.)

2. Soit (E) la région extérieure dudisque limité par le cercle de diamètre AB, c’est- à-dire l’ensemble des points M tels que OM > d .

Montrer géométriquement qu’à tout couple (k ; α) distinct du couple (+1 ; 0) correspond un point M de (E) et un seul tel qu’on ait simultanément

MA

MB = k, (MA,MB)≡α[moduloπ].

Partie C

Onappelle (I′) l’intérieur, privé du point O, du carré défini à la partie A, question 1. et l’on considère l’application f de (I′) dans (E) qui àm associeM de la façon suivante : au point m on fait correspondre le couple (k ; α), défini à la partie A, question 2, et à ce couple (k ; α) on fait correspondre M défini à la partie B, question 2. [Ainsi, à tout pointm de (I′) correspond par f un point M de (E).] Soit D le point dont les coordonnées sont (d ; d) et D′ le point dont les coordonnées sont (−d ; −d). On désigne par () le segment DD′ privé des points D, D′ et O. On se propose de chercher la transformée (L) de () par f .

1. Montrer que pour tout pointm de () on a

k = tg (π

4 −

α

2

)

2. Montrer que le cercle (C ) [défini à la partie B, question 1.] a alors pour équa- tion, en fonction de α,

(C ) x2+ y2− 2d

sinα x+d2 = 0.

Reims 2 juin 1971

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

3. Calculer les coordonnées des points communs aux cercles (C ) et (Γ). (Γ) étant le cercle dont l’équation a été trouvée à la partie B, question 1.,

(Γ) x2+ y2+2dycotgαd2 = 0.

Préciser celui des deux points communs qui appartient à (E).

4. Vérifier que (L) est une partie de la courbe dont l’équation est

x2− y2 = d2.

Préciser de quelle partie il s’agit et la représenter dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Reims 3 juin 1971

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