Exercices de géométrie 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur le symbole Log. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction logarithme népérien, la symétrie affine par rapport à D1, le repère convenable.
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[ Baccalauréat C Rennes juin 1976 \

EXERCICE 1

Le symbole Log désignant la fonction logarithme népérien, soit f l’application de R dans R définie par :

{

f (x) = ex −1− (ex −1) .Log |ex −1| si x 6= 0 f (0) = 0

1. Montrer que f est continue en 0.

2. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative C relativement à un repère orthonormé . Préciser la tangente à cette courbe en son point d’abs- cisse 0.

EXERCICE 2

1. Résoudre dans Z×Z l’équation .

143x−100y = 1

en remarquant que (7 ; 10) est solution.

2. Déterminer l’ensemble des entiers naturels p tels que :

106p +103p −2= 0 (143)

PROBLÈME

Soit P un plan affine, (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère de P.

D1 et D ′1 les droites passant par O et de vecteurs directeurs respectifs −→ ı et

−→ .

D2 et D ′2 les droites passant par O et dont les coefficients directeurs respectifs sont les réels distinctsm etm′. On dit qu’une application affine f de P dans P échange deux droites D et D ′ si et seulement si

f (D)=D ′ et f (

D ′ )

=D.

Partie A

On désigne par :

S1 la symétrie affine par rapport àD1 parallèlement àD ′1 S ′1 la symétrie affine par rapport àD

′ 1 parallèlement àD1

S2 la symétrie affine par rapport àD2 parallèlement àD ′2 S ′2 la symétrie affine par rapport àD

′ 2 parallèlement àD2

SO la symétrie de centre O

Id l’application identique dans P .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Soit E l’ensemble ayant pour éléments : Id, SO, S1, S ′ 1.

Démontrer queEmuni de la loi de compositiondes applications est un groupe commutatif.

2. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur m et m′, pour que la transformée deD2 par S1 soit D ′2.

Montrer qu’alors S1 et S ′1 échangent D2 et D ′ 2 et vérifier (par exemple par un

calcul) que S2 et S ′2 échangent D1 et D ′ 1.

Partie B

1. Soit S une symétrie affine échangeant D1 et D ′1.

Quelle est l’image de O par S ?

Démontrer qu’il existe un réel a non nul tel que pour tout point M(x ; y) de P son image M

(

x′ ; y ′ )

par S soit définie par :

{

x′ = 1

a y

y ′ = ax

Démontrer que S échange D2 et D ′2 si et seulement si :mm ′ = a2.

2. Montrer que si m et m′ sont non nuls et de même signe, il existe deux symé- tries affines et deux seulement, L et L′, qui échangent D1 et D ′1 d’une part, D2 et D ′2 d’autre part.

Montrer que : L L′ = L′ ◦L = SO.

Partie C

On suppose dans cette partie que :m′ >m > 0 On désigne toujours par L et L′ les symétries échangeant D1 et D ′1 d’une part, D2 et D ′2 d’autre part.

1. En utilisant B 2. et un repère convenable, démontrer qu’il existe deux symé- tries affines et deux seulement, Σ et Σ′, qui échangent D1 etD2 d’une part,D ′1 et D ′2 d’autre part.

On appellera ∆ l’axe de ∑

, ∆′ l’axe de ∑′.

2. On pose :

T = L ◦Σ◦L

a. Démontrer que T est la symétrie par rapport à la droite L(∆) (transfor- mée de ∆ par L) parallèlement à la droite L

(

∆ ′ )

(transformée de ∆′ par L).

b. Quelles sont les images par T des droitesD1 etD ′1 ?

c. Démontrer que L échange ∆ et ∆′.

Rennes 2 juin 1976

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