Exercices de géométrie 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur la loi de probabilité. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de répartition, la représentation graphique.
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[ Baccalauréat C Nice septembre 1976 \

EXERCICE 1

Un joueur dispose de 3 dés qu’il lance simultanément. Leurs faces sont numérotées de 1 à 6 . Il ne les lance qu’une fois. Son gain est ainsi attribué :

– si les trois chiffres sortis sont égaux, il gagne 5 F ; – si parmi les trois chiffres il y a deux « 1 » et deux seulement, il gagne 2 F ; – si les trois chiffres sont consécutifs, alors il gagne 1 F ; – dans tout autre cas, son gain est nul.

On appelle X la variable aléatoire correspondant à son gain.

1. Établir la loi de probabilité, ou distribution, de X.

2. Etablir la fonction de répartition.

En donner une représentation graphique.

3. Calculer E(X) (espérance mathématique de X).

EXERCICE 2

Le plan affine P est rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

. On considère l’application f de

P dans P qui, à tout point M(x ; y), associe le point M ′ (

x′ ; y ′ )

défini par :

x′ = 1

3 x

1

3 y +

2

3

y ′ = − 2

3 x+

2

3 y +

2

3

1. Montrer que f est une application affine non bijective. Déterminer l’ensemble D des points de P invariants par f .

2. Étudier l’ensemble des antécédents par f d’un point donné M ′(a′ ; b′) de P, en distinguant deux cas, suivant que M ′ appartient, ou n’appartient pas, àD.

3. Reconnaître l’application f et préciser ses éléments.

PROBLÈME

Partie A

Dans toute la suite, on note R⋆ + etN⋆ l’ensemble des réels positifs, et l’ensemble des

entiers naturels privés de zéro.

1. Étudier la fonction numérique f définie sur R⋆ + par

f (x)= Log

(

1+ 1

x

)

− 1

1+ x .

En déduire que, pour tout réel t supérieur à 1, on a l’inégalité

(1) ∫t

1 xLog

(

1+ 1

x

)

dx> ∫t

1

x

1+ x dx.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

2. Soit g la fonction numérique définie sur R⋆+ par

g (x)= exLog (

1+ 1x )

.

Calculer g ′(x) ; en déduire sur R⋆ + une primitive de f .

Calculer l’aire G du domaine limité par la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé, l’axe des abscisses de ce repère, les droites d’équation x = α, x = β α et β sont deux réels donnés vérifiant 0<α<β, puis étudier la limite de cette aire lorsque β tend vers +∞ et α tend vers 0.

3. Vérifier que la fonction numérique h définie par h(x)= Logg (x) est croissante sur R⋆+. Utiliser la fonction en escalier k définie sur [1 ; n[ (n ∈N⋆) par

k(x)= pLog

(

1+ 1

p

)

lorsque x ∈ [p−1 ; p]

p prenant successivement toutes les valeurs entières de 2 à n, pour démontrer l’inégalité

(2) n

p=1 pLog

(

1+ 1

p

)

>

n

1 xLog

(

1+ 1

x

)

dx.

Partie B

1. Démontrer que : ∀α> 0, Logα6α−1. (On pourra étudier les variations de la fonction x 7−→ Log xx+1).

2. Soient x1, x2, , . . . , xn−1, xn , n nombres réels strictement positifs. En appliquant l’inégalité précédente à chacun des réels

αi = xi

1 n (x1+ x2+·· ·+ xn )

, i = 1, 2, ..., n

démontrer que :

(3) 1

n

[

Log x1+Log x2+ ...+Log xn ]

6 Log x1+ x2+·· ·+ xn

n

3. Démontrer que l’inégalité (3) est équivalente à

x1x2 · · ·xn 6 ( x1+ x2+·· ·+ xn

n

)n

Partie C

On considère les suites (u) et (v) de terme général

n Nun =

(

1+ 1

n

)n

, vn = u1+u2+·· ·+un

n .

1. Démontrer que les suites de termegénéralun et Logun sont croissantes, conver- gentes et que leurs limites respectives sont e et 1. En déduire que ∀n ∈N⋆, vn 6 e.

2. En utilisant les inégalités (1), (2) et (3), montrer que

n ∈N⋆, Log vn > 1

n

n

1

x

1+ x dx.

3. Calculerωn = ∫n

1

x

1+ x dx (on remarquera que

x

1+ x = 1−

1

1+ x ), puis lim

n→+∞

ωn

n .

4. Démontrer que pour tout n ∈ N⋆, 1

n ωn 6 Log vn 6 1, et en déduire que (v)

est convergente. Quelle est sa limite ?

Nice 2 septembre 1976

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