Exercices de géométrie 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur le système. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer et construire l’ensemble E1, étudier les variations de la fonction f.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Orléans–Tours juin 1976 \

EXERCICE 1

1. Montrer que si deux nombres sont premiers entre eux, il en est demême pour leur somme et leur produit.

2. Résoudre dansN⋆×N⋆ le système :

{

x+ y = 56 ppcm(x ; y) = 105

EXERCICE 2

Dans le plan complexe, on considère l’ensemble E1 des pointsM d’affixe z vérifiant :

z2− (1+ i)2 = z2− (1− i)2

1. Déterminer et construire l’ensemble E1.

2. Déterminer et construire l’ensemble E2 des points M vérifiant :

[z− (1+ i)] [

z− (1− i) ]

= 8.

3. Vérifier qu’il existe un point de E1 ∩ E2 où les deux courbes ont même tan- gente.

PROBLÈME

Partie A

Soit E un espace vectoriel euclidien réel orienté de dimension 2, et (tj) une base orthonormée directe de E. Pour tout réel t , on appelle ϕt l’endomorphisme de E

dont la matrice dans la base (

−→ ı ,

−→

)

est :

(

e−t cos t −e−t sin t e−t sin t e−t cos t

)

1. Reconnaître ϕ0 et ϕπ. Montrer que ϕt est une similitude, composée de deux endomorphismes simples de E.

2. Soit F l’ensemble des endomorphismes ϕt . Montrer que F , muni de la com- position des applications est isomorphe au groupe additif des réels.

Partie B

À l’espace vectoriel euclidien orienté E, on associe un espace affine E , muni d’un

repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

. Pour tout nombre réel t on définit le point de

coordonnées (x ; y) telles que :

{

x = e−t cos t y = e−t sin t

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Étudier, sur l’intervalle

[

π

2 ; 3π

2

]

, les variations de la fonction f qui, à t

réel, associe l’abscisse deM :

f (t)= e−t cos t .

b. Comparer f (t) et f (t +2),k ∈ Z, t

[

π

2 ; 3π

2

]

; en déduire les varia-

tions de f sur R.

c. Soit u et v les fonctions définies sur R par :

u(t)= e−t v(t)=−e−t .

(C1) et (C2) leur courbe représentative dans un repère (

Ω. ; −→ ı ;

−→

)

.

Soit (C ) la courbe représentative de f dans (

Ω. ; −→ ı ;

−→

)

.

Déterminer (C )∩ (C1) et (C1)∩ (C2) et en déduire que la fonction f n’ad- met pas de limite en −∞ ?

d. Comparer aux points de (C )∩ (C2) les tangentes à (C ) et (C1) (de même pour (C ) et (C2)).

e. La fonction f admet-elle une limite en +∞ ?

f. Utiliser ce qui précèdepour représenter graphiquement f sur

[

π

2 ; 3π

2

]

.

On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes :

e− π

4 = 0,455 e− π

4 = 2,193 e−π = 0,043 e−3

π

4 = 0,094

2. Pour tout entier naturel k on pose :

ak =

∫− π

2 +(k+1)π

π

2 +e−t cos t dt .

a. Calculer cette intégrale (on pourra utiliser deux intégrations par parties).

b. Montrer que la suite b définie par : ∀k ∈N, bk = |ak | est une suite géo- métrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

c. Montrer que k=n

k=0 bk a une limite quand n tend vers +∞. Interpréter géo-

métriquement ce résultat.

Partie C

Unpoint matérielM de E est enmouvement pendant l’intervalle de temps [0 ; +∞[.

Sa position à la date t est définie par ses coordonnées dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

:

{

x = e−t cos t y = e−t sin t

1. Déterminer le vecteur vitesse −→ V de M et le vecteur accélération

−→ Γ de M à la

date t .

Le mouvement est-il accéléré, retardé ?

2. Démontrer que l’angle (

−−−→ OM ,

−→ V

)

que fait le vecteur −−−−−→ OM(t) avec le vecteur

vitesse −→ V deM à la date t est constant et en donner une mesure.

3. Exprimer ∥

−−−−−→ OM(t)

∥ en fonction de t .

4. Utiliser ce qui précède pour indiquer l’allure de la trajectoire deM .

Orléans–Tours 2 juin 1976

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