Exercices de géométrie 3, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Exercices de géométrie 3, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Exercices de géométrie 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système orthonormé d’axes, le vecteur vitesse du pointmobile.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rennes septembre 1971 \

EXERCICE 1

À tout couple (x, n) d’entiers x etn supérieurs ou égaux à deux, on associe le nombre entier, noté a(x, n), qui, dans le système de numération de base x, s’écrit avec n chiffres dont le premier et le dernier sont des 1 et les autres (s’il y en a) des 0. Ainsi, a(trois, deux) s’écrit 11 en base « trois », c’est l’entier « quatre » ; a(trois, trois) s’écrit 101 en base « trois », c’est l’entier « dix ».

1. Montrer que, quelle que soit la base x, a(x, n) est divisible par a(x, deux) si n est pair et ne l’est pas si n est impair.

2. À quelles conditions doivent satisfaire les entiers x et n pour que le nombre a(x, n) soit divisible par le nombre « trois » ?

EXERCICE 2

Dans un plan rapporté à un système orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , la position d’un point mobile à l’instant t , M(t) est définie par ses coordonnées

{

x(t) = esin t , y(t) = ecos t ,

pour t variant de 0 à 2π.

1. En se déplaçant sur sa trajectoire, le point mobile rencontre la droite d’équa- tion y = 1 en quatre points A, B, C et D, dont on déterminera les coordonnées.

Quelles sont les dates de passage en chacun des points A, B, C et D ?

2. Déterminer le vecteur vitesse du pointmobile aux différentes dates depassage en chacun des points A, B, C et D.

PROBLÈME

1. λ désignant un nombre réel donné non nul, on considère, dans le plan rap- porté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , la transformation ponctuelle qui fait correspondre au point M de coordonnées (x ; y) le point M de co- ordonnées

(

x′ ; y ′ )

, telles que

{

x′ = x

y ′ = x2+λy.

a. Montrer que est une bijection du plan sur lui-même.

b. Trouver les points doubles de .

c. Quelle est la transformée par d’une droite d’équation ux+v y+w = 0 ?

2. a. Soit (Γ1) et (Γ2) les courbes d’équations respectives

y = f1(x)= x 2 +2|x −1|

et

y = f2(x)= x 2 +2ex .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Étudier les variations des fonctions f1 et f2 et construire les courbes (Γ1) et (Γ2)

(Onmontrera que l’équation f ′2 (x)= 0 a une racine, dont on donnera une valeur approchée.)

b. Soit A l’ensemble des points du plan de coordonnées (x ; y) dont l’abs- cisse x est comprise entre−1 et 1 et dont l’ordonnée y est comprise entre f1(x) et f2(x). Calculer l’aire de A.

3. a. (Γ1) et (Γ2) sont les images par T2 de deux courbes (C1) et (C2) du plan. Quelles sont les équations de (C1) et (C2) :

y = g1(x) et y = g2(x) ?

b. Soit g la fonction définie par

g (x)= g1(x) pour tout réel x pour lequel g1(x)> g2(x),

g (x)= g2(x) pour tout réel x pour lequel g1(x)< g2(x)

et soit (C ) la courbe d’équation y = g (x).

Quelle est la fonction f de R dans R, telle que y = f (x) soit l’équation de la courbe (Γ)transformée de (C ) par T2 ?

Montrer que f est une fonction continue sur R.

Déterminer la primitive Φ de f telle que Φ(1)= 0.

En déduire l’aire du domaine limité par l’axe x′Ox, les droites d’équa- tions x =−1 et x = 2 et la courbe (Γ).

Rennes 2 septembre 1971

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