Exercices de géométrie 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur l’application. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les élément de E, la loi de composition des applications.
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[ Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1976 \

EXERCICE 1

f est la fonction réelle de la variable réelle x définie sur l’intervalle I= [

π

4 ; π

4

]

par :

f (x)= |x|+ tg x

1. Étudier cette fonction et tracer sa courbe représentative dans un repère ortho- normé.

2. Montrer qu’il existe un réel unique x0 appartenant à I tel que :

f (x0)= π

8 .

3. Calculer ∫ π

4

π 4

f (x)dx.

Quelle est la valeur moyenne de f sur l’intervalle I ?

EXERCICE 2

On dispose de deux urnes dont l’une contient deux boules marquées 1, deux boules marquées 2 et deux boules marquées 3 et l’autre contient trois boules marquées 1, deux boules marquées 2 et une boule marquée 3. On tire une boule dans chaque urne et on suppose que chaque couple de boules a la même probabilité d’être tiré.

1. Montrer que la probabilité d’obtenir 3 comme somme des nombres écrits est 5

18 .

2. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque couple de boules, associe la somme des nombres écrits sur ces boules.

Donner la loi de probabilité deX. Calculer l’espérancemathématique et l’écart- type de X.

PROBLÈME

V étant un espace vectoriel réel, et V ′ et V ′′ deux sous-espaces vectoriels donnés de V , on se propose d’étudier l’ensemble E des endomorphismes de V ′ de noyau V ′′ et d’image V .

Partie A

V est un plan vectoriel de base B = (

−→ ı −→

)

, V ′ est la droite vectorielle de base −→ v ′ =

−→ ı +

−→ et V ′′ est la droite vectorielle de base

−→ v ′′ = a

−→ ı +b

−→ , où a et b sont deux

réels différents de 0.

1. On suppose a 6= b

a. Montrer que (−→ v ′ ,

−→ v ′′

)

est une base de V .

b. Soit p la projection vectorielle sur V ′′ parallèlement V ′. Est-ce que p est élément de E ?

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

c. Soit f un élément de E . Écrire sa matrice dans la base B′ = (−→ v ′ ,

−→ v ′′

)

.

En déduire que f est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une projection vectorielle que l’on déterminera. Y a-t-il commutativité de la composition ?

d. Démontrer que E est égal à l’ensemble des endomorphismes h p, où h décrit l’ensemble H des homothéties vectorielles de V .

e. E est-il stable pour la loi de composition des applications ? Même ques- tion pour l’addition des applications.

f. Montrer que l’application : H → E

h 7−→ h p

est un isomorphisme de groupe, les ensembles H et E étant munis de la loi de composition des applications de V dans V . Préciser l’élément neutre de (E , ◦) et l’élément symétrique d’un élément donné de E .

2. On suppose a = b

a. Peut-on définir la projection vectorielle p de la partie A ?

b. Soit f1, l’endomorphisme de V dont la matrice dans la base B est :

(

1 −1 1 −1

)

Vérifier que f1 est élément de E .

c. Soit f un endomorphisme de V , de matrice

(

α γ

β δ

)

dans la base B.

Donner les conditions nécessaires et suffisantes sur α, β, γ, δ pour que f soit élément de E .

d. En déduire que E est égal à l’ensemble des endomorphismes h f1 , où h décrit H . E est-il stable pour la loi de composition des applications ?

Partie B

V est un espace vectoriel réel de dimension 2 ou 3. Si f est un élément de E , on notera Ker f = V ′ et Im f = V ′′.

1. Donner un exemple de sous-espaces V ′ et V ′′ tels que E soit l’ensemble vide. On supposera dans la suite du problème que E n’est pas l’ensemble vide.

2. f et g étant deux éléments de E :

a. Montrer que V ′ ⊂Ker (g f ) et Im (g f )⊂ V ′′.

b. Si V ′ = V ′′, montrer que : ∀ −→ v ∈ V , g f

(

−→ v

)

= 0.

E est-il stable pour la loi de composition des applications ? Rapprocher ce résultat de celui trouvé en première partie 2. d.

c. Si V ′ et V ′′ sont deux sous-espaces supplémentaires de V , montrer que

quel que soit −→ v appartenant à Ker (g f ), f

(

−→ v

)

= 0 et montrer que

Im (g f ) = V ′′. E est-il stable pour la loi de composition des applica- tions ?

3. V ′′ est une droite vectorielle de V et V ′′ un sous-espace supplémentaire de V ′′

dans V .

a. Montrer que pour tout élément f de E , f (

V ′′ )

⊂ V ′′. En déduire que pour

tout vecteur −→ v de V , f

(

−→ v

)

et −→ v sont colinéaires.

b. Démontrer que la restriction de f à V ′′ est une homothétie vectorielle.

Orléans–Tours 2 septembre 1976

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

c. Démontrer que E est égal à l’ensemble des endomorphismes h p, où h décrit l’ensemble des homothéties vectorielles de V , p étant la projec- tion vectorielle sur V ′′ parallèlement à V ′.

N. B. - Dire que E est stable pour la loi de composition des applications signifie :

∀( f , g )∈ E2, g f E .

Orléans–Tours 3 septembre 1976

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