Exercices de géométrie 4, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Exercices de géométrie 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les cercles, les variations de la fonction f , la courbe d’équation.
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[ Baccalauréat C Rouen juin 1971 \

EXERCICE 1

Trouver, selon les valeurs de n(n N), le reste de la division par 11 du nombre

a = 102n+4−2 . 10n+2+1.

EXERCICE 2

ABC est un triangle dans lequel l’angle A est aigu. Le point O est le milieu du côté BC ; on désigne par (O) le cercle de diamètre [BC]. M et M′ sont deux points variables de la droite BC, conjugués harmoniques par rap- port à B et à C.

1. Montrer que, les cercles (Ω) passant par A, M et M′ recoupent la droite OA en un point fixe, A′.

En déduire que les centres des cercles (Ω) appartiennent à une droite fixe (∆).

2. On désigne par J l’inversion de pôle A qui laisse le cercle (O) invariant.

Déterminer les transformés, par J , de la droite BC, d’un cercle (Ω) et de la droite (∆).

PROBLÈME

1. Étudier les variations de la fonction f , définie dans R− {0} par la relation

f (x)= (x+1)3

x2 .

Construire la courbe représentative (Γ) de f dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’axes xx et y y .

Donner l’équation de chacune des asymptotes.

2. La droite (∆) d’équation x =−1 coupe en A l’axe xx. La courbe (Γ) coupe en B son asymptote oblique.

Évaluer à 0,01 près l’aire du domaine limité par l’arc AB de (Γ), l’asymptote oblique et (∆).

3. La droite variable (D) d’équation y = m(x + 1) recoupe (Γ) en M et N, pour certaines valeurs du paramètre réelm, que l’on précisera.

Soit (C ) le cercle passant par M et N et ayant son centre sur l’axe xx. Démon- trer, à l’aide d’une relation indépendante de m entre les abscisses de M et N, que A est le pôle de y y par rapport au cercle (C ).

4. Déduire de ce dernier résultat

a. que les cercles (C ) appartiennent à un faisceau linéaire, dont on préci- sera la nature et les éléments remarquables,

b. que les pentes des droites OM et ON sont liées par une relation simple,

c. que les tangentes à (C ) en M et N se coupent sur y y .

d. que les tangentes à (Γ) en M et N se coupent sur y y .

5. Soit (γ) la courbe d’équation

y = x+1 |x|

p x+1.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

a. Montrer que la droite (D) variable d’équation

y =m(x+1)

coupe la la courbe (γ) en trois points au plus, A, P et Q.

Les points P et Q ont-ils une position limite quand m tend vers zéro ? Interpréter géométriquement les résultats.

b. En utilisant ces renseignements et ceux qui sont fournis par l’étude de f à la première question, tracer (γ).

Rouen 2 juin 1971

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