Exercices de géométrie 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur la fonction numérique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer le rang moyen ou espérance E, Déterminer les éléments géométriques des coniques.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Paris juin 1976 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction numérique définie par :

{

f (x) = 0 pour x 6 0

f (x) = e− 1 x pour x > 0

1. Montrer que f est continue sur R. On examinera particulièrement le point x = 0.

2. Montrer que f est dérivable sur R, et que sa fonction dérivée f ′ est continue.

EXERCICE 2

Une urne contient n boules ; deux sont blanches, les autres sont noires. Elles sont, à part cela, identiques et on suppose que les tirages qui sont effectués donnent à chaque boule la même probabilité. On épuise l’urne en tirant les n boules, une à une, sans les remettre. On désigne par X la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tirée.

1. Calculer la loi de X, c’est-à-dire, en fonction de n les diverses probabilités.

pk = P{X = k}, k = 1,2, . . . ,n

2. a. Calculer le rang moyen ou espérance E(X) pour la loi obtenue. On rap- pelle que :

n

k=1 k2 =

n(n+1)(2n+1)

6

b. Sachant que E(X)= n+1

3 , en déduire, par une considération de symétrie,

l’espérance E(Y) du rang Y de la deuxième boule blanche tirée.

PROBLÈME

P désigne, dans tout le problème, un plan affine euclidien rapporté à un repère or-

thonormé R = (

O, −→ ı ,

−→

)

. Dans tout le problème, λ désigne un réel quelconque et

k un réel strictement positif. À tout couple de réels (λ ; k), ainsi constitué, on associe la courbe, k dont une équation dans le repère R est :

(1+λ)x2+ (1−λ)y2 = k.

Partie A

1. Étudier les courbesC0, k , C1, k et C−1, k .

2. a. Montrer que les deux coniques admettant respectivement pour équa- tions :

3x2+ y2 = 12 3x2− y2 = 6

sont des courbes , k .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Déterminer les éléments géométriques de ces coniques : foyers, som- mets, asymptotes et les représenter sur deux figures distinctes.

3. On suppose λ différent de −1, 0 et 1. Le réel k étant fixé, discuter, suivant la valeur de λ, la nature (ellipse ou hyperbole) de la conique , k .

Préciser son axe focal et calculer en fonction de λ le carré e2 de son excentri- cité.

Partie B

1. On considère l’application affine , de P dans P, qui au point M de coordon- nées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

tel que :

x′ = (1+λ)xλy y ′ = λx+ (1−λ)y

a. Montrer que est une application bijective de P sur P. Comparer fλ et l’application réciproque de notée f

−1 λ

.

b. On considère l’application θλ de P dans R qui, au point M de coordon- nées (x ; y) associe le réel :

(1+λ)x2+ (1−λ)y2.

Démontrer que, pour tout réel θ :

θλ = θλ

en déduire θλ fλ = θλ.

2. a. On note (

, k )

l’ensemble des images par des points de, k .

Démontrer que : (

, k )

=Cλ, k .

b. Représenter sur une même figure la courbe C 1 2 , 6

et sa transformée par

f 1 2 (on conseille de prendre pour unité 2 cm).

3. À chaque réel λ, on associe la droite () d’équation :

(1+λ)x+ (1−λ)y = 0.

a. Montrer que, quel que soit λ, la droite () n’a jamais la direction (δ)

définie par le vecteur −→ ı +

−→ .

b. Soit la symétrie oblique d’axe () et de direction (δ). Montrer que conserve globalement , k .

Montrer que l’égalité : = h définit une transformation h indé- pendante de λ. Préciser la nature de cette transformation.

c. À l’aide de la question b. précédente retrouver le résultat de 2. a.

Partie C

Dans toute cette partie on désigne par E la courbeC 1 2 , 6

et par E ′ sa transformée par

f 1 2 . Les représentations graphiques ont été effectuées au B 2. b.

1. N désigne un point arbitraire de E . Placer sur la figure les points :

N , s 1 2 (N ), h(N ) et f 1

2 (N )=N ′.

Montrer qu’ils sont alignés.

Paris 2 juin 1976

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. a. On considère un point M de P, mobile, dont les coordonnées (x ; y) sex-

priment en fonction du temps t

(

t décrit

[

− 2π

3 ; 4π

3

[)

par :

x = 2sin t ; y = 2 p 3cos t

Montrer que la trajectoire deM est la courbe E .

b. Soit M ′ le point de coordonnées (

x′ ; y ′ )

tel que :

x′ = 2 p 3cosβ ; y ′ = 2sinβ.

Montrer qu’il existe un réel unique β de l’intervalle

]

− 2π

3 ; 4π

3

]

tel que

M ′ = f 1 2 (M). Exprimer β en fonction de t .

3. a. Calculer les coordonnées à l’instant t , du vecteur vitesse du point M et du vecteur vitesse du point M ′ = f 1

2 (M).

b. Soit M0 la position du mobile M à l’instant t0 = 0. Montrer que M ′0 =

f 1 2 (M0) est associé à β =

2π

3 . Montrer que les tangentes respectives en

M0 à E , en M ′0 à E ′ se coupent en un point de la droite ∆ d’équation

xy = 0.

c. Plus généralement, la propriété « l’intersection des tangentes aux points M et M ′ = f 1

2 (M), respectivement à E et à E ′, appartient à ∆ » est-elle

vraie à tout instant ?

Paris 3 juin 1976

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