Exercices de géométrie 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur la fonction logarithme népérien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les domaines de définition, l’équation, Déterminer le domaine Dt de définition de t .
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[ Baccalauréat C Paris septembre 1976 \

EXERCICE 1

Soit n un entier naturel, non nul. On considère les entiers A et B :

A = 3n2 B = n(2n+1)

Déterminer suivant les valeurs de n, le plus grand commun diviseur de A et B .

EXERCICE 2

On considère dans C, l’équation :

(1) mz4+ (m − i)z2− i= 0

z désigne l’inconnue et i le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2 , et

m désigne un paramètre.

1. On suppose ici m réel ; résoudre l’équation.

2. On suppose ici m complexe, de module ρ et d’argument θ ; résoudre l’équa- tion.

3. Trouver l’ensemble E des valeurs du paramètre (réelles ou complexes) pour lesquelles toutes les solutions de (1) sont de même module.

PROBLÈME

Partie A

On désigne par Log la fonction logarithme népérien.

1. On considère la fonction f qui, à x réel, associe

f (x)= Log (|Log x|)

Préciser son domaine de définition puis calculer, k étant un réel arbitraire, f

(

ek )

.

Etudier la fonction f et construire la courbe représentative (C ) de f dans un plan P rapporté à un repère orthonormé (unité 2 cm).

Donner, s’il y en a, les points d’intersection de (C ) et des axes de coordonnées, les tangentes à (C ) en ces points.

2. Soient g et h les fonctions de la variable réelle x définies respectivement par

g (x) = Log (Log x) h(x) = Log (

∣Log (|x|) ∣

∣)

Préciser leurs domaines de définition et, en utilisant la question précédente, indiquer leurs représentations graphiques dans le plan P.

Partie B

On considère la fonction ϕ, de la variable réelle x , définie par

ϕ(x)= 1

x Log (|x|)

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

1. Préciser son domaine de définition ; étudier cette fonction et construire sa re- présentation graphique (Γ) dans unplan (P’) rapporté à un repère orthonormé (unité : 2 cm). Calculer, k étant un réel non nul, ϕ

(

ek )

.

2. Soit α un réel strictement supérieur à un. On désigne par D(α) la partie du plan (P′) ensemble des points M(x ; y) tels que :

x est compris entre α et e • 06 y 6ϕ(x).

Calculer l’aire A (α) de D(α). Étudier les limites de A (α) lorsque α tend vers un, et lorsque α tend vers +∞.

3. On pose, pour tout élément x du domaine de définition de ϕ :

ψ1(x)=ϕ(x)− x

a. Montrer que l’équation :

(1) ψ1(x)= 0

admet dans R+ une racine unique, que l’on notera α. Montrer que α> 1.

b. Exprimer, au moyen de α, les racines de l’équation (1) dans R.

c. En déduire l’ensemble E des points d’intersection de (Γ) et de la pre- mière bissectrice des axes de coordonnées.

d. En s’aidant du dessin, trouver un encadrement de α par deux réels α1 et α2 distants de 0,1.

On pourra commencer par localiser approximativement α sur un inter- valle I, puis on comparera x−2 et Log x pour des valeurs de x appartenant à I et formant une progression arithmétique de raison 0,1.

4. En étudiant le signe de la fonction ψ2 définie par

ψ2(x)=ϕ(x)+ x

montrer que (Γ) et la secondebissectrice des axes de coordonnées n’ont aucun point commun.

Partie C

On considère la fonction t , définie sur une partie de C, telle que : 1

t(z)= 1

z Log|z|

1. a. Déterminer le domaine Dt de définition de t .

b. L’ensemble C des nombres complexes x + iy est représenté à l’aide des

points M(x ; y) d’un plan P1 muni d’un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Déterminer lorsque z décrit Dt l’ensemble E1 des points M d’affixe z = x + iy .

On associe à t l’application T de E1 dans P1 qui, au point M d’affixe z, fait correspondre le point M ′ = T (M) d’affixe z ′ = t(z).

2. Exprimer le module et l’argument de z ′ = t(z) au moyen de ceux de z.

3. En utilisant le résultat de B 3. déterminer les points de P1 invariants par T .

4. Déterminer l’ensemble des points M du domaine de définition de T , qui sont tels que l’origine O, le point M et son image M ′ = T (M) soient alignés,

5. Quel est le transformé par T d’un cercle de centre O et de rayon R strictement positif et différent de l’unité.

Paris 2 septembre 1976

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

Données numériques approchées :

x 0,5 1 2

ex 1,649 2,718 7,389

e−x 0,607 0,368 0,135

Paris 3 septembre 1976

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