Exercices de géométrie 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Exercices de géométrie 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

PDF (33.8 KB)
2 pages
156Numéro de visites
Description
Exercices de géométrie 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan rapporté à un repère orthonormé, l'équation cartésienne.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
StrasbourgCjuin1971*.dvi

[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1971 \

EXERCICE 1

Soit le plan rapporté à un repère orthonormé, les axes de coordonnées étant dési- gnés par x′Ox et y ′Oy . On appelle (∆) la droite d’équation x = 6, H la projection orthogonale du point M sur la droite (∆).

1. Soit l’ellipse (E) de foyer O de directrice (∆), ensemble des points M du plan tels que

(1) 2OM=MH.

Former son équation cartésienne.

2. Un axe t ′Ot du plan, repéré par son angle polaire (−−→ Ox ,

−→ Ot

)

= θ (modulo 2π),

coupe la droite (∆) en P et la courbe (E) en deux points M et M′) dont les abs- cisses sur l’axe Ot sont OM et OM’.

On choisit OM> 0>OM′ et l’on sait que

−−→ OM +

−−→ MH =

−−→ OH ;

en utilisant une projection sur l’axe x′Ox et la relation (1), calculer OM en fonction de θ.

Sans nouveaux calculs, démontrer que

OM′ = −6

2−cosθ .

3. Démontrer que

1

OM +

1

OM′ =

2

OP ,

que peut-on en conclure ?

EXERCICE 2

On définit la suite de terme général vn de la façon suivante :

{

v0 = 1, vn+1 =

p 12+ vn ,pour tout entier natureln.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, vn est un nombre réel strictement positif et strictement inférieur à 4.

2. On pose 4− vn = wn . Démontrer que

wn+1 < 1

4 wn ;

en déduire la limite de wn , puis celle de vn lorsque n tend vers l’infini.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

N. B. - On attachera une importance particulière à la clarté de la rédaction du rai- sonnement par récurrence.

PROBLÈME

Dans tout le problème, x désigne un nombre réel strictement positif et Log x le lo- garithme népérien de x (on rappelle que Log e = 1). À tout nombre réel k on associe l’application de l’ensemble des nombres réels stric- tement positifs dans l’ensemble des nombres réels, définie par

fk (x)= Log x

x

k

x .

On appelle (Ck ) la courbe représentative de fk dans un repère orthonormé, les axes de coordonnées étant désignés par x′Ox et y ′Oy .

1. a. Étudier les variations de f1 et tracer la courbe (C1), correspondant à k = 1.

b. Étudier les variations de fk ; déterminer la limite de fk (x) lorsque x tend vers zéro par valeurs positives et la limite de fk (x), lorsque x tend vers +∞.

L’application fk est-elle injective ; est-elle surjective ?

2. a. On appelle Tk le point de contact de (Ck ) et de la tangente à (Ck ) issue de O. Calculer, en fonction de k, l’abscisse tk de Tk ?

Quel est l’ensemble des points Tk lorsque k varie dans l’ensemble des nombres réels ?

b. Onappelle Pk le point de (Ck ) d’ordonnée nulle, Mk le point de (Ck ) où la tangente à (Ck ) est parallèle à x

′Ox et Ik le point de (Ck ) dont l’abscisse annule la dérivée seconde de fk . Calculer, en fonction de k, les abscisses respectives pk ,mk et ik de Pk ,Mk et Ik .

Montrer que pk ,mk , ik sont les quatre premiers termes d’une suite géo- métrique ; on notera un (k) le terme de rang (n+1) de cette suite.

c. Calculer la somme des n premiers termes de cette suite géométrique. Cette somme a-t-elle une limite lorsque n tend vers +∞ ?

3. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g définie par

g (x)= (Log x)2.

En déduire une primitive de fk et calculer l’aire An de la surface comprise entre l’axe x′Ox, la courbe (Ck ) et les droites d’équations respectives x = un (k) et x = un+1(k), où un (k) a la même signification qu’au 2. b.

Constater que An ne dépend pas de k et que la suite qui, à tout entier naturel n, fait correspondre An est arithmétique.

4. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis pour une primitive de f1 sur l’intervalle [e ; x] et l’étude des variations de f1, que, pour tout x strictement supérieur à e, on a

(eLog x −e)2 < 2(x −e).

Strasbourg 2 juin 1971

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome