Exercices de géométrie 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur l’ensemble référentiel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé, la continuité et la dérivabilité de la fonction.
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[ Baccalauréat C Poitiers juin 1976 \

EXERCICE 1

L’ensemble référentiel est l’ensemble N⋆ des entiers naturels non nuls ; x est un élé- ment deN⋆, différent de 1 ; p et q sont des éléments deN⋆.

1. Montrer que si d est un diviseur de p, alors xd −1 est un diviseur de xp −1. 2. Montrer que si d est le P.G.C.D. de p et de q , alors il existem et n tels que

mpnq = d .

Endéduire que sid est le P.G.C.D. de p et de q , onpeut trouverm etn vérifiant :

(

xmp −1 )

− (

xnq −1 )

xd = (

xd −1 )

.

3. De l’égalité précédente, déduire que (

xd −1 )

est le P.G.C.D. de xmp − 1 et de xnq −1.

EXERCICE 2

Le plan affine euclidien P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Au point

M de coordonnées (x ; y) on fait correspondre le complexe z = x + iy , appelé affixe deM , et z = x− iy est l’imaginaire conjugué de z.

1. Soit f l’application de P vers P qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M’ dont l’affixe z’ est :

z ′ = (

1− i p 3 )

z+3+3i p 3.

Quelle est l’image f (ω) du point ω d’affixe 1+ i p 3 ?

Montrer que f est une similitude inverse dont on précisera les éléments re- marquables.

2. Soit g la symétrie affine orthogonale par rapport à la droite affine d’équation y = x

p 3. Calculer en fonction de x et y , coordonnées d’un point M , les coor-

données (

x′ ; y ′ )

deM ′ = g (M). 3. Déterminer g f et donner ses éléments remarquables.

PROBLÈME

Partie A

Pour tout couple de réels (a1 ; bl), on considère la fonctionϕ1 définie sur l’ensemble R+ des réels positifs de la façon suivante :

{

ϕ1(0) = 0 ϕ1(x) = x

(

a1+b1Log x )

, ∀x > 0.

1. On suppose dans cette question a1 =−b1 = 1.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Montrer que la fonction ϕ1 çorrespondante est continue sur R+. Est-elle dérivable sur R+ ? Déterminer la fonction dérivée ϕ′1 et la limite de cette fonction quand x tend vers 0 par valeurs positives.

b. Étudier les variations de ϕ1. Construire sa courbe représentative (C1) dans un plan rapporté à un repère orthonormé ; on précisera la nature de la branche infinie, la tangente à l’origine du repère et les points d’or- donnée nulle.

c. Montrer que la fonction ϕ2 :

x 7−→ϕ2(x)= ∫x

0 ϕ1(t)dt

est définie et continue sur R+.

Calculer ϕ2(x). (On trouvera, pour x non nul, ϕ2(x)= x2

4 (3−2Log x)).

Construire la courbe représentative (C2) de ϕ2 dans le même plan que (C1) en précisant la nature de la branche infinie, la tangente à l’origine du repère, les points d’ordonnée nulle.

2. On suppose maintenant a1 et b1 réels quelconques.

a. Étudier brièvement la continuité et la dérivabilité de la fonction ϕ1 asso- ciée.

{

ϕ1(0) = 0 ϕ1(x) = x

(

a1+b1Log x )

, ∀x > 0. b. Montrer que l’on peut définir sur l’ensemble des entiers naturels non

nuls une suite de fonctions (

ϕn )

n∈N⋆ par :

ϕ1(0)= 0, ∀x > 0, ϕ1(x)= x (

a1+b1Log x )

n > 1, ∀x > 0, ϕn(x)= ∫x

0 ϕn−1(t)dt .

Vérifier qu’il existe deux suites a = (an)n∈N⋆ et b = (bn )n∈N⋆ telles que :

x > 0, ϕn(x)= xn (

an +bnLog x )

.

Former des relations de récurrence concernant les couples (an ; bn) et (an+1 ; bn+1).

Étudier la suite b. On pose, pour tout entier naturel n non nul, tn =n!an . Former une relation de récurrence satisfaite par tn et tn+1.

Montrer qu’il existe deux réels positifs A et B tels que :

n> 1, |tn | = A+BLogn

(On pourra montrer que, pour tout entier naturel n strictement supé-

rieur à 1, on a 1

2 + 1

3 +·· ·+

1

n 6 Logn).

Étudier alors la convergence de la suite a.

Partie B

À tout couple (a ; b) de réels, à tout entier naturel non nul p, on associe l’application ϕ de R+ dans R définie par :

{

ϕ(0) = 0 ϕ(x) = xp

(

a+bLog x )

, ∀x > 0. Pour tout entier naturel non nul p, on note Ep l’ensemble décrit par ϕ lorsP que (a ; b) décrit R2 ?

Poitiers 2 juin 1976

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Montrer que, si p est différent de 1, Ep est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel sur R des fonctions dérivables sur R+.

Examiner le cas de p = 1. On supposera dans la suite du problème p 6= 1.

2. Montrer que les éléments de Ep , notés u et v , obtenus respectivement en don- nant à (a ; b) les valeurs (1 ; 0) et (0 ; 1) forment une base de Ep .

3. Soit f l’application qui, à tout élément ϕ de Ep associe la fonction numérique f (ϕ), notée g , définie sur R+ par : g (x)= x.ϕ′(x). Démontrer que f est un endomorphisme de Ep . Déterminer la matrice de f dans la base (u ; v). L’application f est-elle un automorphisme de Ep ?

4. k étant un réel donné, on appelle Fk l’ensemble des éléments ϕ de Ep tels que f (ϕ)= k.ϕ. Déterminer Fk et discuter suivant les valeurs de k.

5. Démontrer qu’il existe deux constantes réelles λ et µ telles que, pour tout élé- ment ϕ de Ep ,

( f f )(ϕ)+λ f (ϕ)+µ.ϕ

soit l’application nulle.

Poitiers 3 juin 1976

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