Exercices de géométrie 7, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Exercices de géométrie 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des complexes l’équation en z, la progression arithmétique.
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[ Baccalauréat C Sud Vietnam juin 1971 \

EXERCICE 1

Résoudre dans le corps des complexes l’équation en z

z2+ (5i−6)z −16i+2= 0.

EXERCICE 2

1. Montrer que, quels que soient les nombres réels x et y , on a

sin2 x − sin2 y = sin(x + y)sin(x y).

2. Montrer qu’il existe un nombre réel a, appartenant à l’intervalle [

0 ; π

2

[

, tel

que, quel que soit le nombre strictement positif k satisfaisant aux relations

a k ∈ [

0 ; π

2

[

et a +k ∈ [

0 ; π

2

[

,

les trois nombres sin2(ak), sin2 a et sin2(a+k) soient trois termes consécutifs d’une progression arithmétique.

PROBLÈME

d et r étant deux nombres réels donnés tels que 0< r < d , on considère, dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy , la droite (∆) d’équation x = d et le cercle (Γ) de centre O et de rayon r . L’axe x′Ox est coupé par (∆) en B et par (Γ) en A d’abscisse r et en A′ d’abscisse −r . On pose

(

∆ ′ )

= (∆)− {B}.

M étant un point quelconque de (

∆ ′ )

, la droite MA coupe (Γ) en un point P distinct de A ; de même, la droite MA′ recoupe (Γ) en P′.

1. Quelle est, dans l’inversion de pôle M qui laisse (Γ) invariant, la figure trans- formée du cercle (Ω) circonscrit au triangle MPP′ ?

Montrer que (Ω) est orthogonal à (Γ).

2. À tout point M de (

∆ ′ )

, on associe le point ω, centre du cercle (Ω).

Quel est l’ensemble des points ω lorsque M décrit (

∆ ′ )

?

3. Montrer que, lorsque M décrit (

∆ ′ )

, la droite PP′ passe par un point fixe S.

Exprimer les coordonnées de S au moyen de d et de r .

4. M étant un point de (

∆ ′ )

, montrer qu’il existe un cercle (Φ) orthogonal à (Ω) en M et orthogonal à (Γ). Si M est en B, on prend comme cercle (Φ) le cercle orthogonal à x′Ox en B et orthogonal à (Γ). Ainsi, à tout élément M de (∆), on associe un cercle (Φ). Montrer que, lorsque M décrit (∆), (Φ) reste tangent à une droite fixe et à un cercle fixe, dont on précisera le centre et le rayon.

5. M est un point de (

∆ ′ )

. Le cercle (Ω) et le cercle circonscrit au triangle MAA′

se coupent en M et en un second point, N . Quel est l’ensemble de ces points N lorsque M décrit

(

∆ ′ )

?

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

6. M est un point de (

∆ ′ )

. Le cercle circonscrit au triangle MAA′ coupe l’axe y ′Oy en deux points Q et Q′.

Construire l’orthocentre du triangle BQQ′. Quelle remarque peut-on faire à son sujet ?

Soit K et K′ les pieds des hauteurs du triangle BQQ′ issues de Q et Q′ respecti- vement. Quel est l’ensemble des points K et K′ lorsque M décrit

(

∆ ′ )

?

Sud Vietnam 2 juin 1971

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