Exercices de géométrie 8, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur les couples (a, b) d’entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble des points M, Montrer que O est centre de symétrie pour C...
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[ Baccalauréat C Poitiers septembre 1976 \

EXERCICE 1

1. Montrer que si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux, alors (a’ + b’) est premier avec a’b’ ,

2. Déterminer les couples (a, b) d’entiers naturels, admettant m pour plus petit commun multiple et tels que :

5(a+b)2 = 147m.

EXERCICE 2

Dans un plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, à tout

point M d’affixe z = x+ iy , on associe le point M ′ d’affixe z ′ = x′+ iy ′ tel que :

z ′ = (3+2i)z+3iz−1.

1. Déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble des points M tels que 0, M, M’ soient alignés.

2. Montrer que cet ensemble des points M est une conique dont on précisera les foyers, sommets, directrices et l’excentricité, Dessiner cet ensemble.

PROBLÈME

Partie A

À tout réelm, on associe l’application fm de R dans R telle que :

fm (x)= x+m sinx.

On désigne parCm la courbe représentative de fm dans un plan rapporté à un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que O est centre de symétrie pour Cm .

2. Soit Γk l’ensemble des points de Cm qui satisfont à

(2k−1)π6 x 6 (2k+1)π, k ∈Z.

Montrer que Γk se déduit de Γ0 par une translation que l’on précisera.

3. a. Étudier, suivant les valeurs dem, le sens de variation de l’application fm .

b. Pour quelles valeurs dem, fm est-elle une bijection de R sur R ?

c. Construire les courbes représentatives des restrictions à [−π ; +π] de f−2, f1/2, f1, f2.

4. On suppose m <−1.

a. Montrer que, lorsque x décrit l’intervalle [

0 ; π

2

[

, l’ensemble des valeurs

de fm possède un minimum y0 pour x0 ∈ [

0 ; π

2

[

. Soit Nm le point de

coordonnées (

x0 ; y0 )

de Cm . Montrer que ses coordonnées sont liées pour la relation :

y0 = x0− tg x0.

Construire l’ensemble des points Nm, lorsquem décrit l’intervalle

]−∞ ; −1[.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

b. Montrer que :

x ∈ [0 ; x] , fm (x)6 x− tg x.

Montrer que l’aire du domaine, ensemble des points M(x ; y) tels que :

06 x6 x0, et x+m sinx 6 y 6 x− tg x,

s’exprime à l’aide dem seul.

Partie B

Le plan affine euclidien P est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On considère l’application T de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

tel que :

x′ = x+ 1

2 sinx

y ′ = y + 1

2 sin y.

1. Montrer que T est une bijection de P sur P. Déterminer l’ensemble des points invariants par T .

2. Soit Q l’ensemble des points du plan P dont les coordonnées (x ; y) vérifient |x| < π et |y | < π ? Montrer que la restriction de T à Q est une bijection de Q surQ . Préciser les points invariants deQ .

Partie C

Soit S l’application de P dans P qui à tout pointM de coordonnées (x ; y) associeM

de coordonnées (

x′ ; y ′ )

tel que :

{

x′ = xy

y ′ = x+ y.

1. Montrer que S est une similitude dont on précisera les éléments (centre, angle, rapport).

Définir S−1.

2. Soit K l’ensemble des points du plan P dont les coordonnées vérifient :

ou bien |x| =π et |y |6π, ou bien |x|6π et |y | =π ?

Construire sur unemêmefigure :K ,S(K ) et S−1(K ), en justifiant cette construc- tion.

Partie D

On note F l’application de P dans P définie par F = S−1 ◦T S.

1. Démontrer que si M ′ (

x′ ; y ′ )

est l’image deM(x ; y) par F , on a :

x′ = x+ 1

2 sinx cos y

y ′ = y + 1

2 sin y cosx.

2. Déduire des questions précédentes que F est une bijection de P sur P et que S−1(Q) est globalement invariant par F .

3. Démontrer que la restriction de F au domaine Q a cinq points invariants que l’on précisera.

Poitiers 2 septembre 1976

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