Exercices de géométrie 8, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Exercices de géométrie 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les entiers naturels, les racines de l’équation du second degré.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1971 \

EXERCICE 1

Déterminer tous les couples (a ; b) d’entiers naturels (a> b) tels que a2−b2 = 1620 et que le plus grand commun diviseur de a et de b soit 6.

EXERCICE 2

1. Déterminer les nombres complexes z tels que z2 =−2i. (On donnera les formes trigonométrique et algébrique des nombres trouvés.)

2. Trouver les nombres complexes, racines de l’équation du second degré,

x2−2(3+2i)x+5+14i = 0.

3. Soit l’équation

x3+ax2+bx+15+42i = 0,

a et b sont deux nombres réels. Les déterminer pour que cette équation

admette le nombre complexe 2+ 3i pour solution. (On ne demande pas les autres solutions.

PROBLÈME

Partie A

Un plan (P ) est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

; x′Ox est l’axe des

abscisses et y ′Oy celui des ordonnées.

1. Soit E l’ensemble des points de x′Ox d’abscisse différente de zéro. On consi- dère l’application T de E dans x′Ox définie par la relation

x′ =− 15

x +8

x étant l’abscisse d’un pointM de E et x′ l’abscisse du point associéM ′ tel que

T (M)=M ′. Est-ce que T est bijective ? Démontrer qu’il existe deux points A et B de E tels

que T (A) = A et T (B) = B. (On choisit l’abscisse de A inférieure à celle de B.)

2. Soit (

P ⋆ )

= (P )−{O}. On considère l’applicationF de (

P ⋆ )

dans (P ), produit

de l’inversion J de pôle O et de puissance k par la translation T de vecteur

δ −→ i ; donc F =T ◦J .

Déterminer k et δ pour que T soit la restriction de F à E, c’est-à-dire que,

pour tout point M de E, F (M) = T (M). Dans la suite k et δ sont les nombres ainsi déterminés.

Calculer les coordonnées x′ et y ′ du point M ′ transformé par F d’un point M

de coordonnées x et y .

3. a. Soit (Γ) le cercle de centre O et de rayon p 15.

On appelle cercle (C ) tout cercle, autre que (Γ), invariant dans J . Dé-

montrer que tout cercle (C ) coupe (Γ) en deux points diamétralement

opposés.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

b. Démontrer que l’ensembleF des cercles (C ) passant par le pointU(+1 ; +2) est un faisceau à points de base, et calculer les coordonnées du deuxième

point de base V.

Trouver géométriquement le transformé F ′ de l’ensemble F par la trans-

formation F .

c. Vérifier que le vecteur −→ u (−2 ; +1) est un vecteur directeur de la média-

trice (∆) du segment [UV].

Soit I le milieu du segment [UV] et ω le point de (∆) défini par −→ Iω = t

−→ u ,

t étant un réel. Calculer les coordonnées de ω et former l’équation du

cercle (C ) deF de centreω. Former les équations des cercles deF passant

par A ou par B.

d. Soit le point K( + 2 ; 0). Démontrer que la polaire de K par rapport à tout cercle de F passe par un point fixe P et calculer les coordonnées de P.

Partie B

On considère une suite (un ) de terme général un , (n entier strictement positif) véri-

fiant la relation de récurrence

un+1 =− 15

un +8

Démontrer que si u1 6= 3 on a, pour tout n, un 6= 3, et qu’il existe un nombre ration- nel α indépendant de n tel que

un+1−5 un+1−3

=α un −5 un −3

Soit tn = un −5 un −3

; calculer tn , puis un en fonction de n, du nombre α trouvé et de t1.

Quelle est la limite de un quand n tend vers +∞ ?

Toulouse 2 juin 1971

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