Exercices de géométrie 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercices de géométrie 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie sur le système décimal comme intermédiaire. Les principaux thèmes abordés sont les suivants la composée, la relation entre les affixes de m et de son image, les applications définies.:
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Reims juin 1976 \

EXERCICE 1

On pose

I (a, n)= ∫1

0 xa (1− x)n dx, a ∈N⋆, n ∈N⋆

et I (a, 0)= ∫1

0 xa dx.

1. En intégrant par parties, montrer que

I (a +1, n)= a +1 n+1

I (a, n+1)

2. Établir que I (a, n)− I (a, n+1)= I (a +1, n). En déduire que

I (a, n+1)= n+1

n+a +2 I (a, n)

3. a étant fixé, (a ∈N⋆), calculer I (a, 0) et démontrer par récurrence sur n, pour tout n ∈N⋆

I (a, n)= 1.2.3 . . . (n−1) .n

(a +1)(a +2).....(a +n+1)

EXERCICE 2

En base 9, trouver tous les couples de chiffres (x ; y) pour lesquels le nombre 7x6y4 est divisible par 7 et par 8. (On pourra utiliser le système décimal comme intermédiaire).

PROBLÈME

Soit P un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Partie A

On donne un point Ω de P et un nombre réel k strictement positif. Soit f l’applica- tion de P −{Ω} dans P −{Ω} définie par :

m 7−→ M = f (m) tel que −−−→ ΩM =

k

−−→ Ωm

2 · −−→ Ωm .

1. Établir que ∥

−−−→ ΩM

∥= k

−−→ Ωm

et que f est une application involutive de P −{Ω}

dans P −{Ω}. 2. a. Quelle est l’image par f du cercle Γ de centreΩ et de rayon

p k ?

b. Quel est l’ensemble des points invariants par f ? f est-elle une applica- tion affine ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. P est considéré comme plan complexe. Tout point m(x ; y) de P a pour affixe z = x + iy ; on note α l’affixe deΩ et Z l’affixe de M , image de m par f .

Etablir la relation (1) Z =α+ k

z α .

(z α désigne le conjugué de z α)

Partie B

On appelle f ′ l’application associée à la relation Z −1 = k

z −1 et f1 celle associée à

la relation Z −1−b = bb

z −1−b b et b sont deux nombres complexes conjugués

(b 6= 0). 1. a. Sur quel ensemble E1 la composée

ϕ1 = f ′ ◦ (

f1 ◦ f ′ )

est-elle définie ?

b. Établir la relation entre les affixes de m et de son image par f1 ◦ f ′, en déduire que la relation entre les affixes de m et de son image M1 par ϕ1 est

(2) Z1 = b +b +k

b

b

b z.

2. On pose désormais k = sin2θ et b = sinθ

2 (−sinθ+ icosθ).

a. En utilisant la relation (2), montrer que ϕ1 est alors la restriction à E1 d’une symétrie orthogonale S1 par rapport à une droite ∆1 passant par

O. On appelle D la droite (

O, −→ u

)

, déterminer l’angle (D, ∆1).

b. On appelle f2 l’application associée à la relation

Z −1−b = bb

z −1−b

et ϕ2 la composée ϕ2 = f ′ ◦ (

f2 ◦ f ′ )

.

Montrer sans nouveaux calculs que ϕ2 est aussi la restriction à un en- semble E2 d’une symétrie orthogonale S2 par rapport à une droite ∆2 que l’on précisera.

c. Prouver l’identité de f ′ ◦ f2 ◦ f1 ◦ f ′ et de R R désigne la restriction de S2 ◦S1 à une partie P′ de P que l’on précisera. Préciser la nature de cette application R.

Quelles valeurs doit-on donner à θ pour que R soit associée à la relation

Z = z (

3

5 + 4

5 i

)

?

3. Soit les applications définies dans E′ = P −{O} par

f ′1 : x 7−→ 1

z , f ′2 : x 7−→

1−k z

.

a. Montrer que la composée h = f ′2 ◦ f ′ 1 est la restriction à E

′ d’une homo- thétie que l’on précisera.

Reims 2 juin 1976

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Quel est l’ensemble de définition de h R ? Montrer que l’application h R est associée à la relation

(3) Z = (1−k) (

3

5 + 4

5 i

)

z

pour un choix convenable de R.

4. On appelle u l’application de P dans P associée à la relation (3).

Déterminer la nature de u et ses éléments remarquables ; discuter selon les valeurs de θ.

Reims 3 juin 1976

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