Exercices de géométrie 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Exercices de géométrie 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Exercices de géométrie 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les racines cubiques du nombre z, Déterminer l’ensemble des points M du plan, les variations de la fonction f.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1971 \

EXERCICE 1

Soit le nombre complexe z =−6 p 3(1+ i)·

Calculer le module et l’argument de ce nombre. Donner sous forme trigonomé- trique, puis sous forme cartésienne, les racines cubiques du nombre z.

EXERCICE 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on donne les deux points I(−1 ; 0) et J(1 ; 0). Soit un point C(m ; 0) variable sur l’axe des abscisses (m ∈R).

1. Comment faut-il choisir m pour que le point C puisse être le centre d’un cercle noté (Cm) du faisceau à points limites I et J ?

Écrire l’équation du cercle (Cm).

2. On attribue au paramètre m les valeurs +2 et −3, auxquelles sont associés les deux cercles (C2) et (C−3) du faisceau précédent.

Déterminer l’ensemble des points M du plan, tels que

PM/(C2)+2PM/(C−3) = 0.

N.-B. - PM/(C2) et PM/(C−3) représentent les puissances du point M respectivement par rapport aux cercles (C2) et (C−3).

PROBLÈME

Dans tout ce problème, on étudie la fonction

α 7−→ 5α−3

α+1 = 5−

8

α+1 ,

pour des ensembles de départ A et d’arrivée B , qui seront précisés au début de chaque partie de l’énoncé.

Partie A

Dans toute cette question, on suppose A =N⋆ (ensemble des entiers naturels autres que 0) et B =Q (ensemble des rationnels). On définit ainsi une fonction qui, à un entier n, fait correspondre un rationnel- image, r , tel que

r = 5n−3

n+1 = 5−

8

n+1 .

1. Pour quelles valeurs de n le rationnel r est-il entier ? Déterminer les valeurs correspondantes de r .

2. a. Démontrer que le plus grand diviseur commun des deux nombres 5n−3 et n+1 est nécessairement un diviseur du nombre 8.

b. En déduire que, si n est pair, 5n−3 et n+1 sont premiers entre eux.

c. Quels sont les entiers n pour lesquels le plus grand diviseur commun de 5n−3 et n+1 est 8 ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie B

Dans toute cette partie, on suppose A = B =R (ensemble des nombres réels) et l’on note f la fonction qui, au réel x différent de −1, associe

f (x)= 5x −3

x +1 .

1. Étudier les variations de la fonction f et tracer sa représentation graphique (H) dans un repère orthonormé.

2. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe (H) et de la droite d’équation y = x.

Calculer l’aire de l’ensemble des points M(x ; y), tels que

16 x 6 3 et x 6 y 6 f (x).

Partie C

Dans cette question, A = B = C (ensemble des complexes). Au nombre complexe z = x + iy différent de −1 correspond

Z = X + iY = 5z −3

z +1 .

Dans le plan complexe, au point m d’affixe z correspond le point M d’affixe Z .

1. Calculer le carré du module de Z en fonction de x et de y . Former l’équation de l’ensemble (C ) des points m pour lesquels le module de Z est 3.

2. Calculer X et Y en fonction de x et de y . Former l’équation de l’ensemble (Γ) des points m pour lesquels Z est un nombre imaginaire pur. Vérifier que les courbes (C ) et (Γ) sont orthogonales.

3. Retrouver géométriquement les résultats des deux questions précédentes en

faisant intervenir les points P et Q d’affixes respectives −1 et 3

5 .

Toulouse 2 septembre 1971

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