Exercices de géométrie algorithmique – 10, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres complexes, l’équation d’inconnue réelle x.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 2 1 juin 1991 \

EXERCICE 1 4 points

Soit les nombres complexes

z1 = p 6− i

p 2

2 et z2 = 1− i.

1. Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et Z = z1

z2 .

2. En déduire que :

cos π

12 =

p 6+

p 2

2 et sin

π

12 =

p 6−

p 2

2 .

3. On considère l’équation d’inconnue réelle x :

(p 6+

p 2 ) cosx+

(p 6−

p 2 ) sinx = 2.

a. Résoudre cette équation dans R.

b. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan orienté on considère un carré direct ABCD de centre O( c’est-à-dire tel que

á(−−→ OA ,

−−→ OB

) =

π

2

) .

Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaire ∆ à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.

1. Faire une figure (prendre BC = 3 cm et BP = 1 cm et placer (BC) horizontale sur la feuille).

2. Soit r la rotation de centre A et d’angle π

2 .

a. Préciser l’image de la droite (BC) par r .

b. Déterminer les images de R et P par r .

c. Quelle est la nature des triangles RAQ et PAS ?

3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR].

Soit s la similitude directe de centre A, d’angle π

4 et de rapport

1 p 2 .

a. Préciser les images des points R et P par s.

b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?

c. De ce qui précède, déduire que les points M, B, N et D sont alignés.

PROBLÈME 11 points

Le problème a pour objet

1. Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

• dans la partie A, d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : .

f (x)= −x2 lnx 1+ x

si x 6= 0 et f (0)= 0,

• dans la partie B, de calculer une valeur approchée de l’intégrale

J = ∫1

0 f (t)dt .

A Étude et représentation graphique de f

Dans cette partie, le plan est rapporté au repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) (unités gra-

phiques : 10 cm sur xx et 20 cm sur y y). On désigne par C la représentation graphique de f .

I. Étude d’une fonction auxiliaire Soit u la fonction définie sur ]0 ; 1] par :

u(x)= 1+ x 2+ x

+ lnx.

1. Montrer que la fonction u est strictement croissante.

Donner son tableau de variations en précisant la limite en 0 et la valeur en 1.

2. En déduire que la fonction u s’annule pour un unique nombre réel β compris entre 0 et 1. Montrer que :

0,54<β< 0,55.

II - Étude et représentation graphique de f

1. a. Étudier la limite de f en 0.

b. Montrer que la fonction f est continue sur [0 ; 1].

2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.

b. Calculer f ′(x) pour x > 0 et vérifier que f ′(x) et−u(x) ont lemême signe. 3. Donner le tableau de variations de f .

4. Construire la courbe C en precisant les tangentes aux points d’abscisses res- pectives 0 et 1.

B

La continuité de f assure l’existence de l’intégrale

J = ∫1

0 f (t)d

On ne cherchera pas à calculer une primitive de f .

I. - Étude d’une intégrale auxiliaire Soit n> 1 un entier naturel. On désigne par gn la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par :

gn(t)=−tn ln t si t > 0 et gn(0)= 0.

1. Démontrer que gn est continue sur [0 ; 1].

2. SoitGn la fonction définie sur [0 ; 1] par :

  

Gn(t) = − tn+1 ln t

n+1 +

tn+1

(n+1)2 si t > 0

Gn(0) = 0.

Métropole groupe 2 2 juin 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Montrer queGn est une primitive de gn sur [0 ; 1].

b. En déduire la valeur de l’intégrale :

Jn = ∫1

0 gn(t)dt .

II - Étude de J

1. Soit t un nombre réel et n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

a. Calculer le produit

Pn(t)= (1+ t) ( 1− t + t2+ . . .+ (−1)n+1tn−1

) .

b. En déduire que pour tout nombre réel t 6= −1, 1

1+ t = 1− t + t2+ ...+ . . .+ (−1)n+1tn−1+ (−1)n

tn

1+ t .

c. Montrer que pour tout nombre réel t ∈ [0 ; 1],

f (t)= g2(t)− g3(t)+ g4(t)− . . .+ (−1)n−1gn+1(t)+ (−1)n gn+2(t)

1+ t puis que

J = J2− J3+ J4− . . .+ (−1)n−1 Jn+1+ (−1)n ∫1

0

gn+2(t)

1+ t dt .

d. En s’aidant une majoration de gn+2(t)

1+ t , démontrer que

06 ∫1

0

gn+2(t)

1+ t d.

2. Soit n> 1 un entier naturel. On pose :

Sn = 1

32 −

1

42 + ...+ (−1)n−1

1

(n+2)2 .

a. Montrer que lim n→+∞

Sn = J .

b. Montrer que Sn 6 J 6 S9.

c. En déduire une valeur approchée de J à 5 ·10−3 près, exprimée avec trois décimales.

Métropole groupe 2 3 juin 1991

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