Exercices de géométrie algorithmique – 2, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point fixe du plan orienté, Étude d’une propriété caractéristique de la famille F, Étude de la famille FAdes cercles de la fam...
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AmeriqueSudnov1991.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1991 \

EXERCICE 1 4 points

Soit O un point fixe du plan orienté. L’exercice propose d’étudier une famille F de cercles de rayons non nuls du plan tels qu’on puisse leur mener, depuis O, deux tangentes orthogonales. Si C est un cercle de la famille F , on note UC et TC les points de contact des tan- gentes àC issues de O. Question préliminaire : pour un cercle C de F , de centre I, indiquer la nature du quadrilatère OUCITC.

1. Étude d’une propriété caractéristique de la famille F

Soit C un cercle du plan de rayon r (r 6= 0) et de centre I. On pose OI = d . Démontrer que :

C appartient à la famille F si et seulement si d = r p 2.

2. Étude de la famille FAdes cercles de la famille Fpassant par un point A du plan

Soit A 6=O un point du plan. a. Démontrer qu’un cercle C de centre I appartient à la famille FA si et

seulement si C passe par A et OI = AI p 2.

b. Déterminer le lieu L des centres des cercles de la famille FA. Préciser les points E et F d’intersection de L avec la droite (OA).

c. Représenter sur une figure deux cercles de la famille FA ainsi que L .

3. Étude de la famille F∆ des cercles de la famille F centrés sur une droite ∆ donnée ne passant pas par O

Soit ∆ une droite donnée du plan ne passant pas par O.

a. Démontrer que les points de contact UC et TC des tangentes issues de O aux cercles C de la famille F∆ décrivent deux droites ∆1 et ∆2.

b. Représenter sur une figure deux cercles de la famille F∆ ainsi que les droites ∆, ∆1, ∆2.

EXERCICE 2 5 points

Soit P un plan orienté rapporté à un repère orthonormé directR = ( O,

−→ ı ,

−→

) .

On rappelle que l’affixe d’un pointM de coordonnées (x ; y) est le nombre complexe z = x+ iy .

On donne des réels r et α avec r > 0 et α= 5π

4 et on note u le nombre complexe de

module r , d’argument α.

1. On construit les points An de P répondant aux conditions :

A0 est l’origine du repère ; • A1 est le point d’affixe i ; • pour tout entier n supérieur ou égal à 2, le point An est l’image de An−2

par la similitude directe de centre An−1, de rapport r , dont une mesure de l’angle est α.

On note zn l’affixe du point An .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Écrire pour tout entier n supérieur ou égal à 2 une relation entre zn , zn−1 et zn−2.

b. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a

zn zn−1 = (−u)n−1i.

c. Déterminer l’expression de l’affixe zn de An en fonction de n et u.

2. a. Montrer qu’il existe une similitude directe S, et une seule, telle que

A1 = S (A0) et A2 = S (A1) .

Préciser les éléments caractéristiques de S.

b. Montrer que pour tout entier naturel n, on a An+1 = S (An). On note S0 l’application identique de P, et pour tout entier naturel n, on pose Sn+1 = S Sn . Soit p ∈N ; montrer que

pour toutn deN, An+p = Sn ( Ap

) .

c. Montrer que S4 est une homothétie.

d. En déduire que les points An sont éléments d’un ensemble formé par la réunion de quatre droites que l’on précisera.

3. On suppose maintenant r = p 2

2 . On appelle Ω le centre de la similitude S.

a. Démontrer quepour tout entier natureln, les vecteurs −−−−−→ ΩAn+1 et

−−−−−−→ AnAn+1

sont orthogonaux.

b. Représenter graphiquement les points A0, A1, A2, · · · , A9 dans le repère orthonormé

( Ω ;

−→ ı ,

−→

) (unité : 4 cm).

c. Calculer ∥∥∥−−−−−→ΩAn+1

∥∥∥ en fonctionden et de ∥∥∥−−−→ΩA0

∥∥∥. Endéduire lim n→+∞

∥∥∥−−−−−→ΩAn+1 ∥∥∥.

d. Pour tout entier naturel n, calculer

Ln = n

i=0

∥∥∥−−−−−→Ai Ai+1 ∥∥∥ .

Étudier la limite de la suite (Ln)n∈N quand n tend vers +∞.

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan orienté on considère un carré ABCD de centre I tel que á(−−→ AB ,

−−→ AD

) =

π

2 .

On note C le cercle passant par A, B, C et D. Faire une figure. (On choisira AB = 4 cm). On note :

t la translation de vecteur −−→ DA ,

rD la rotation de centre D d’angle π

2 ,

r1 la rotation de centre A d’angle − π

4 ,

r2 la rotation de centre A d’angle 3π

4 .

On désire caractériser les transformations :

f = t rD g1 = r1 ◦ f g2 = r2 ◦ f .

Amérique du Sud 2 novembre 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Démontrer que f , g1 et g2 sont des rotations dont on précisera l’angle. (On ne demande pas les centres).

2. a. Déterminer f (D) et f (A). Quel est le centre de f ?

b. Déterminer g1(D) et g2(D).

3. Soit A′1 = g1(A) et A ′ 2 = g2(A).

a. Montrer, en utilisant g2 ◦ g−11 , que A est le milieu du segment [A ′ 1 A

′ 2].

b. Montrer, en calculant á(−−→ AD ,

−−→ AN

) , que A′1 est sur la tangente à C en A.

4. a. Soit J le centre de g1 et K celui de g2.

Montrer que J et K appartiennent à C et qu’ils sont diamétralement op- posés. Placer J et K sur la figure.

b. Montrer que A′1 est sur la droite (JB).

Placer les points A′1 et A ′ 2 sur la figure.

PROBLÈME 12 points

À tout entier naturel n > 1 on associe la fonction numérique fn définie sur l’inter- valle I = [1 ; +∞[ par :

fn(x)= 1

n!

(lnx)n

x2

On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→

) du

plan. (Choisir comme unités graphiques 1 cm sur xx et 10 cm sur y y .) La première partie propose l’étude de f1 Dans les parties II et III on précise certains comportements des fonctions fn et des primitives de ces fonctions.

I. Étude de f1

1. Déterminer la limite de f1 en +∞. Étudier les variations de f1.

2. Tracer la tangente à Cn au point d’abscisse 1 puis tracer la courbe C1.

3. À l’aide d’une intégration par parties, calculer, pour x élément de I :

I1(x)= ∫x

1 f1(t)dt .

II. Comportement des fonctions fn pour n > 1

1. En remarquant que (lnx)n

x2 =

[ (lnx)

x2/n

]n , déterminer la limite de fn en +∞.

2. a. Calculer f n (x) et vérifier que f n

( en/2

) = 0.

Donner le tableau de variations de f n .

b. Vérifier que la valeur maximale de fn sur I est :

yn = 1

n!

( n 2e

)n .

3. a. Soit x ∈ I. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de f2(x)− f1(x).

b. Déterminer la tangente à C2 au point d’abscisse 1.

Préciser les positions relatives de C1 et C2.

4. On se propose d’étudier la suite ( yn

) n>1.

Soit n un entier strictement positif.

Amérique du Sud 3 novembre 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Calculer, pour x> 1, fn+1(x)

fn (x) .

b. Montrer que yn+1 = 1

2 fn

( e

n+1 2

) et que yn+1 6

1

2 yn .

c. En déduire que yn 6 1

e

1

2n .

Quelle est la limite de la suite ( yn

) n>1 ?

III. Étude de primitives de fn sur I

À tout entier n> 1 et à tout nombre réel x de I, on associe l’intégrale

In (x)= ∫x

1 fn (t)dt .

1. a. Soit k > 1 un entier.

Grâce à une intégration par parties démontrer la relation :

Ik+1(x)= Ik (x)− 1

(k+1)! (lnx)k+1

x .

b. En déduire que pour tout entier n> 1 :

In (x)= 1

x − lnx

x − (lnx)2

2!x −·· ·−

(lnx)n−1

(n−1)!x − (lnx)n

n!x

2. Soit α> 1 un nombre réel fixé.

a. Montrer que 06 In (α)6 (α−1)yn (yn a été défini dans II. 2. b). b. En déduire lim

n→+∞ In (α). (On utilisera II. 4. c.).

3. Pour n> 1 et x> 1 on pose :

Wn(x)= 1+ lnx

1! + (lnx)2

2! +·· ·+

(lnx)n

n!

a. ExprimerWn(x) en fonction de In (x).

b. α> 1 étant un nombre réel fixé, déterminer lim n→+∞

Wn (α).

c. En déduire la limite γ de la suite (Un)n∈N de terme général :

Un = 1+ 1

1! +

1

2! +·· ·+

1

n! .

En s’aidant de la calculatrice donner une valeur décimale approchée de U6 à 10−4 près. Comparer cette valeur à γ.

Amérique du Sud 4 novembre 1991

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