Exercices de géométrie algorithmique – 3, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’équation cartésienne, Déterminer l’angle et le rapport de f .
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Antilles-Guyane juin 1991\

EXERCICE 1 4 points

Soit D une droite du plan et F un point dont la distance à D est égale à 3, l’unité étant le centimètre. Soit ∆ la droite passant par F et orthogonale à D.

On considère θ un réel tel que 06 θ < π

2 .

1. Soit Γθ l’ensemble des points M du plan tels que MF

MH = cosθ, H désignant le

projeté orthogonal de M sur la droite D.

Donner, suivant les, valeurs de θ, la nature de Γθ.

2. Tracer Γ0, cas où θ = 0.

3. a. Soit θ = π

3 .

Déterminer les sommets A et A′ de Γ π 3 situés sur ∆, le centre O et le

deuxième foyer F′ de Γ π 3 .

Tracer Γ π 3 .

b. Déterminer l’équation cartésienne de Γ π 3 dans le repère orthonormal

(

O, −→ u ,

−→ v

)

où O est le centre de Γ π 3 et

−→ u un vecteur unitaire de la droite

∆.

EXERCICE 2 4 points

Soit d un réel strictement positif. Dans le plan orienté, on considère le carré OABC de centre I tel que :

{ (

−−→ OA ,

−−→ OC

)

= +

π

2 OA = d .

Soit J le milieu de [OI].

+

O A

BC

I

J

1. Soit f la similitude plane directe telle que :

{

f (O) = I f (A) = J .

a. Déterminer l’angle et le rapport de f .

Baccalauréat C A. P.M. E. P.

b. Construire C′ = f (C).

Déterminer f (B).

c. SoitΩ le centre de la similitude f .

Montrer que les points (Ω, O, I, C) d’une part et (Ω, O, A, J) d’autre part sont cocycliques.

En déduire une construction deΩ.

d. Montrer que les droites (OΩ) et (ΩC) sont orthogonales.

2. Le plan est rapporté au repère orthonormal (

O, −→

u , −→

v )

direct tel que A ait pour

affixe d .

Déterminer la forme complexe de f .

PROBLÈME 12 points

K désignant un nombre réel, l’objet de ce problème est l’étude de certaines fonc- tions fK définies sur ]0 ; +∞[ par :

fK (x)= lnx

x +K lnx.

A

Dans cette partie, nous supposerons que K = 0. Soit f la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= lnx

x .

1. Étudier les variations de f .

On appelle (C0) la représentation graphique de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, (unité graphique : 1 cm).

Tracer (C0).

2. Calculer l’aire, en cm2, de la portion du plan comprise entre l’axe des abs- cisses, la courbe (C0) et les droites d’équations x = 1 et x = e.

B

Études des dérivées successives de la fonction f définie dans la partie A

1. Calculer f ′′(x), x appartenant à ]0 ; +∞[.

2. Montrer par récurrence que, pour tout n de N∗, on peut définir deux suites réelles (Un)n∈N et (Vn)n∈N telles que :

f (n)(x)= Un +Vn lnx

xn+1

avec

U1 = 1 ; V1 =−1 ; Un+1 =Vn − (n+1)Un pour n> 1 ; Vn+1 =−(n+1)Vn pour n> 1.

f (n) désigne, pour tout entier n deN∗, la dérivée n-ième de f .

3. a. Exprimer Vn en fonction de n.

Antilles-Guyane 2 juin 1991

Baccalauréat C A. P.M. E. P.

b. Montrer par récurrence que, pour tout n deN∗, on a :

Un = (−1) n+1n!

[

1+ 1

2 + . . .+

1

n

]

.

C

Étude de certaines fonctions fK , où K est un réel strictement positif

On rappelle que fK est définie sur ]0 ; +∞[ par

fK (x)= lnx

x +K lnx

On donne K1 = 1

e2 et K2 =

1

2e2 .

1. Déterminer les limites de fK aux bornes de l’ensemble de définition.

2. Calculer f K (x) pour tout x strictement positif.

3. On appelle tK la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ par :

tK (x)= 1− lnx+K x.

a. Étudier les variations de tK .

b. Montrer que, pour tout x de ]0 ; +∞[, tK1 (x)> 0.

c. En déduire le tableau de variations de fK1 sur ]0 ; +∞[.

d. Montrer que l’équation tK2 (x)= 0 admet deux solutions α et β dans l’in- tervalle ]0 ; +∞[.

e. En déduire le sens de variation de fK2 sur ]0 ; +∞[.

Antilles-Guyane 3 juin 1991

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