Exercices de géométrie algorithmique – 4, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer et construire l’ensemble des points M, Étudier les variations de g sur R.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Antilles–Guyane \ septembre 1991

EXERCICE 1 4 points

Soit un losange ABCD de centre O, et tel que OB = 2OA.

1. Montrer que le barycentre I des points B, C, et D affectés respectivement des coefficients 2, −1 et 1 est le milieu du segment [AB].

2. Soit k un nombre réel.

a. Déterminer et représenter l’ensemble E1 des barycentres G des points A, B, C et D affectés respectivement des coefficients k, 2, k−1 et 1−2k.

b. Préciser la valeur de k pour laquelle G est un point de la droite (AC).

3. Déterminer et représenter :

a. l’ensemble E2 des points M du plan tels que :

(

−−→ MA +

−−→ MC −2

−−−→ MD

)

·

(

2 −−→ MB −

−−→ MC +

−−−→ MD

)

= 0.

b. l’ensemble E3 des points M du plan tels que :

MA2+MC2−2MD2 =−6OA2.

EXERCICE 2 4 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, on associe au point M d’affixe z, z 6= −3i, le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = z−1+ i

3− iz .

1. Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que z ′ soit un nombre réel.

2. Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que ∣

z ′ ∣

∣= 2.

PROBLÈME 12 points

Partie I

1. Soit la fonction numérique g définie pour tout nombre réel x par :

g (x)= x2+2x+1

x2+1 .

a. Étudier les variations de g sur R. On ne demande pas de construire sa représentation graphique,

b. Prouver que g (x) est bornée sur R+.

c. Étudier la fonction g ′ sur l’intervalle [1 ; +∞[.

En déduire que, pour tout x appartenant à [1 ; +∞[, on a :

g ′(x) ∣

∣6 1

4 .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit la fonction numérique f définie pour tout x réel positif par :

f (x)= 1+ ln

[

x2+2x+1

x2+1

]

.

a. Étudier les variations de f .

Tracer avec précision la représentation graphique de f dans un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

ayant pour unité graphique 5 cm.

b. Prouver que, pour tout x réel positif, on a :

16 f (x)6 1+ ln2< 2.

c. En utilisant le 1., prouver que pour tout x de l’intervalle [1 ; 2], on a :

f ′(x) ∣

∣6 1

4 .

d. Soitm un réel quelconque.

Déterminer graphiquement, endiscutant selon les valeurs dem, le nombre de solutions positives de l’équation f (x)=m.

Pourm = 1,5, déterminer graphiquement les valeurs approchées des so- lutions à 10−1 près.

Partie II On définit une suite (Un)n∈N de la façon suivante :

U0 = 1

5 et pour tout entier natureln, Un+1 = f (Un)

f est la fonction définie dans la partie I.

1. Placer U0 sur l’axe des abscisses du repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, puis par un procédé

géométrique, représenter sur ce même axeU1, U2 etU3.

2. Prouver que, quel que soit l’entier naturel non nul n, on a :

1<Un < 2.

3. Soit h la fonction numérique définie sur l’intervalle [1 ; 2] par :

h(x)= f (x)− x.

Montrer que h est une fonction décroissante. En déduire que l’équation

f (x)= x a une seule solution λ comprise entre 1 et 2.

Donner une valeur approchée de λ à 10−2 près.

4. Prouver que pour tout entier n non nul, on a :

|Un+1−λ|6 1

4 |Unλ|

En déduire que |Unλ|6

(

1

4

)n−1

et que la suite (Un)n∈N converge vers λ.

Antilles–Guyane 2 septembre 1991

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