Exercices de géométrie algorithmique – 5, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier la continuité de f en 0 et en 1. Déterminer les limites.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Benin Étranger groupe II \ juin 1991

EXERCICE 1 4 points

1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur R+ par :

  

f (x) = e 1

lnx si x 6= 0et x 6= 1 f (0) = 1 f (1) = 0

a. Étudier la continuité de f en 0 et en 1.

b. Déterminer les limites suivantes :

lim x→+∞

f (x) ; lim x→0 x>0

f (x)−1 x

; lim x→1 x<1

f (x)

x−1 .

c. Étudier les variations de f et dresser le tableau de ces variations.

d. Représenter f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

2. À l’aide de la question précédente, représenter dans le plan rapporté à un re- père orthonormal l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que ln |x| · ln |y | = 1.

EXERCICE 2 4 points

Soit, dans le plan orienté, un triangle (A, B, C) équilatéral direct de centre O. On pose AB = d (d > 0).

1. a. Démontrer que l’ensemble (∆) des points M du plan tels que −−→ OC ·−−−→OM =

1

3 d2 est une droite que l’on déterminera avec précision.

b. Déterminer le réel k afin que l’ensemble (δ) des points du plan tels que −−→ OC ·−−−→DM = k passe par le milieu du segment [BC].

c. Démontrer que l’ensemble (Γ) des pointsM duplan tels queMA2+MB2+ MC2 = 2d2 est un cercle que l’on déterminera avec précision.

d. Justifier que (∆) est tangente à (Γ).

2. À tout point M du plan on associe le point M ′ défini par :

M ′ = S(AC) ◦S(AO)(M)

S(AO) et S(AC) désignent les symétries orthogonales par rapport aux droites (AO) et (AC).

a. Démontrer que M ′ est l’image de M par une rotation r dont on donnera les éléments caractéristiques.

b. Quelle est l’image, par r , de la droite (BC) ?

c. Démontrer que O′ = r (O) est un point de (Γ). 3. À tout pointM de la droite (BC) on associe le pointM ′′ intersection de la droite

(AM ′) et de (δ).

M ′ est le point défini en 2.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Démontrer que M ′′ est l’image deM par une similitude s dont on préci- sera les éléments caractéristiques.

b. Construire l’image (Γ′′) de (Γ) par s.

4. Soit N un point de (Γ) distinct de A et de O′. La droite (NO′) coupe (Γ′′) enQ .

a. Démontrer que á((AN ), (AQ))= á ( (OA), (AO′)

) .

b. Déterminer s(N ).

PROBLÈME 12 points

Dans tout le problème le plan est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie A

Soit E l’ensemble des points M , du plan P , de coordonnées (x ; y) tels que

x2− xy2 = 0.

1. Démontrer que E est une hyperbole équilatère dont on précisera le centre, les asymptotes et les sommets.

2. Dessiner E.

Déterminer les foyers et les directrices de E et les placer sur le dessin.

3. Soit M un point de E d’abscisse strictement positive. On désigne par θ la me-

sure de l’angle (−→ ı ,

−−−→ OM

) appartenant à

] − π

2 ; π

2

[ .

Exprimer OM en fonction de θ puis déterminer θ afin que l’on ait OM = p 3.

4. Déterminer tous les points M de E dont les coordonnées (x ; y) sont deux entiers relatifs.

Partie B

On considère l’application f de C dans C définie par :

{ f (z) =

1

z si z 6= 0

f (0) = 0

et l’on désigne par g l’application deP dansP qui à tout point M d’affixe z associe g (M) d’affixe f (z).

1. Démontrer que f est involutive.

2. Soit z = x+iy (x ; y réels). Déterminer en fonction de x et de y la partie réelle et la partie imaginaire de f (z).

3. Déterminer une équation cartésienne de la transformée de la courbe E par g . On désigne par E′ cette courbe.

4. Soit ∆ la droite d’équation y = t x t désigne un paramètre réel. Démontrer que ∆ coupe E′ en deux points dont l’un est O et l’autre M dont on donnera les coordonnées en fonction de t .

Partie C

Soit (C ) la courbe définie paramétriquement dans le plan par :

x(t)= 1− t2

1+ t2 y(t)=

1− t3

1+ t2 (t ∈R).

On note M(t) le point de coordonnées (x(t) ; y(t)).

Étranger 2 juin 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Comparer x(−t) et x(t) puis y(−t) et y(t) ; que peut-on en déduire pour (C ) ? 2. Soit (C ′) la partie de la courbe (C ) correspondant à t > 0.

a. Étudier les fonctions x : R+ → R

t 7−→ x(t) et y : R+ → R

t 7−→ y(t) (fonction dérivée, signe de x′(t) et y ′(t)).

On démontrera en particulier que y ′(t) s’annule pour une valeur t0 et on donnera les valeurs exactes puis approchées à 10−1 de x (t0) et y (t0).

b. Déterminer les limites suivantes : lim t→+∞

x(t) et lim t→+∞

y(t).

Que peut-on en déduire pour (C ) ?

c. Démontrer que (C ) possède enM(0) une tangente dont on donnera une équation.

d. Donner l’équation de la tangente à (C ) au point M(1).

e. Résumer l’étude précédente par un tableau.

f. Tracer (C ′) puis (C ).

Étranger 3 juin 1991

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