Exercices de géométrie algorithmique – 6, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction logarithme népérien, la limite de la suite.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Étranger 1 juin 1991 \

EXERCICE 1 6 points

Dans le plan complexe, on considère les quatre points A, B, C, D d’affixes respectives 1, i, −1,−i. Soit M un point d’affixe z.

1. Exprimer en fonction de z le nombre réel :

p =MA×MB×MC×MD.

2. On suppose que z = reiθ avec r > 0, 06 θ6 π

2 .

Donner une relation entre r et θ nécessaire et suffisante pour que p = 1.

3. Chercher les affixes des points M de l’axe des réels solutions de p = 1.

Donner sous forme trigonométrique les affixes des points M du cercle trigo- nométrique tels que p = 1.

EXERCICE 2 4 points

Dans le plan on considère deux cercles C et C′ de centres respectifs O et O′, demême rayon R, tangents extérieurement en un point A. À tout point M de C, on associe le point M′ de C′ tel que :

á(−−→ OM ,

−−−→ OM′

) =

π

2 +2, k entier.

1. Montrer qu’il existe une rotation de mesure π

2 , dont on construira géométri-

quement le centreΩ, qui envoie C sur C′.

Quelle est l’image deM par cette rotation ?

2. Montrer que I, milieu de [MM′] est l’image de M par une similitude f directe de centreΩ.

Déterminer les éléments caractéristiques de cette similitude.

En déduire le lieu de I quandM décrit C.

3. Donner l’image de O par la similitude f et une mesure de l’angle á(−−→ OM ,

−→ AI

) .

PROBLÈME 10 points

On rapporte le plan à un repère orthonormé R ( O,

−→ ı ,

−→ ) l’unité de longueur est de

5 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Pour x ∈]1 ; +∞[ on définit deux fonctions Pn et fn par :

  

Pn(x) = n

k=1

xk

k = x+

x2

2 +·· ·+

xn

n ;

fn(x) = ln(x−1)+Pn (x).

(On rappelle que ln désigne la fonction logarithme népérien.).

1. Algérie, Burundi, Cameroun, Égypte, Éthiopie, Israël, Magadascar,Maroc, Sénégal, Togo, Zaïre, Ga- bon, Djibouti

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

A.

1. a. Donner une relation entre fn+1(x) et fn (x).

b. En utilisant la somme des termes d’une suite géométrique, trouver pour x 6= 1 une forme équivalente à l’expression :

n

k=1 xk−1 = 1+ x+·· · + xn−1.

c. Étudier le sens de variationdes fonctionsPn et fn et les limites aux bornes de l’ensemble de définition.

2. Montrer que l’équation fn (x)= 0 admet une unique solution.

On note αn cette solution.

a. Donner et justifier un encadrement de αn à 10−2 près.

b. Tracer C3 courbe représentative de f3.

On placera les points de coordonnées

( 3

2 ; f

( 3

2

)) ; (2 ; f (2)).

3. Donner une expression simple et le signe de fn+1 (αn). En déduire la monoto- nie de la suite (αn ). Étudier la convergence de la suite (αn ).

4. Soit p un entier positif non nul.

Montrer que ∫p+1

p

1

x dx 6

1

p .

En déduire :

a. que ln(n+1)6 Pn (1).

b. que fn

( 1+

1

n+1

) > 0.

c. et enfin que 1<αn < 1+ 1

n+1 .

En déduire la limite de la suite (αn).

B.

1. Étudier le sens de variation de f n+1 sur l’intervalle

] 1 ; 1+

1

n+1

[ .

2. Écrire l’inégalité des accroissements finis pour fn1 sur [αn+1 ; αn].

Montrer en utilisant le résultat de A. 3. que :

αn+1−16 (n+1)(αn αn+1)6αn −1.

3. En déduire un encadrement de α4 à partir de celui de α3.

Étranger 2 juin 1991

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