Exercices de géométrie algorithmique – 9, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les coordonnées, Construire le point C image du point A par T . Établir le tableau de variations de g .
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 1 1 juin 1991 \

EXERCICE 1 4 points

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Au point M d’affixe z = x+ iy , où x et y sont réels, on fait correspondre le point M

d’affixe z ′ = z2+2z.

1. a. Calculer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

du point M ′ en fonction des coordon- nées (x ; y) du point M .

b. Montrer que l’ensemble (H) des points M du plan tels que z ′ soit imagi- naire pur est une hyperbole dont on précisera le centre, les sommets et les asymptotes.

Tracer (H).

2. SoitΩ le point d’affixe −1.

Déterminer les points M du plan tels que le quadrilatère OMM ′Ω soit un pa- rallélogramme.

EXERCICE 2 4 points

Dans le plan orienté, on considère deux points distincts A et B. On note RA et RB les

rotations de centres respectifs A et B et d’angle de mesure π

2 .

Pour tout point M du plan, on note M1 et M2 les images respectives de M par RA et RB.

1. On considère la transformation T =RB ◦R−1A .

a. Construire le point C image du point A par T .

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T .

c. En déduire la nature du quadrilatèreM1M2CA.

2. On suppose que le point M décrit le cercle (Γ) de diamètre [AB].

a. Déterminer et construire l’ensemble (Γ2) décrit par le pointM2 quandM décrit (Γ).

b. Soientω etω2 lesmilieux respectifs des segments [AB] et [BC]. Comparer

les vecteurs −−−→ ωω2 et

−−→ AC .

c. Déterminer l’ensemble décrit par le point I, milieu de [M1M2] quand M décrit (Γ).

PROBLÈME 12 points

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

A -

1. Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= x− 1

2 +e−x

et soit C sa courbe représentative dans le sepère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Établir le tableau de variations de f .

1. Amiens, Lille, Rouen, Créteil, Paris, Versailles

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit T l’application de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x ; y) associe le point N de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

tels que :

{

x′ = −x

y ′ = −2x+ y

a. Montrer que −−−→ MN est colinéaire à

−→ ı +

−→ et que le milieu P de [MN ] ap-

partient à l’axe (

O ; −→

)

.

b. Soit g la fonction numérique définie sur ]−∞ ; 0] par

g (x)= x− 1

2 +ex

et soit C1 sa courbe représentative dans le repère (

O, −→

ı , −→

)

.

Montrer que l’image de la courbe C par T est la courbe C1.

3. Établir le tableau de variations de g .

4. Montrer que C et C1 admettent pour asymptote la droite ∆ d’équation

y = x− 1

2 et préciser leur position par rapport à ∆.

5. Soit h la fonction numérique définie sur R par

h(x)= x− 1

2 +e−x

et soit Γ sa courbe représentative dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Montrer que Γ est la réunion de C et de C1.

6. En adoptant une unité de 4 cm sur chaque axe, construire ∆ et la courbe Γ

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

en précisant les demi-tangentes a Γ au point A d’abs-

cisse 0.

B - Soit Dk la droite d’équation y = x− 1

2 +

1

k k est un réel strictement supérieur

à 1.

1. a. Étudier la position relative de C et Dk et donner l’abscisse de leur point commun Mk .

b. Étudier la position relative de C1 etDk et donner l’abscisse de leur point commun Nk .

c. Vérifier que Nk = T (Mk ) (T étant l’application définie au A - 2.) et que le

milieu Pk de [MkNk] appartient à l’axe (

O ; −→

j )

.

2. Démontrer que les parties du plan limitées, l’une par C ,Dk et (

O ; −→

j )

, l’autre

par C1, Dk et (

O ; −→

j )

, ont la même aire a(k).

Étudier la limite de a(k) lorsque k tend vers +∞.

3. Montrer que l’aire du triangle APMk est S(k)= 1

2

(

1− 1

k

)

lnk.

4. On se propose d’étudier s’il existe une valeur de k telle que S(k)= 2a(k). (1)

a. ψ étant la fonction numérique définie sur ]1 ; +∞[ par :

ψ(k)= lnk−4 k−1

k+3 ,

montrer que l’égalité (1) équivaut à :ψ(k)= 0.

b. Établir le tableau de variations deψ.

c. En déduire l’existence et l’unicité de la valeur de k vérifiant l’égalité (1) et encadrer cette valeur par deux entiers consécutifs.

Métropole groupe 1 2 juin 1991

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