Exercices de intégration et de probabilités, Exercices de Logique mathématique. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de intégration et de probabilités, Exercices de Logique mathématique. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Exercices de mathématiques sur intégration et de probabilités. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 7.
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UFR Mathématiques Université Rennes 1 Licence 3ème année Année 2006/2007

Intégration et probabilités - TD 5

Exercice 1. Déterminer la limite des suites (In)n≥1 suivantes en précisant le théorème utilisé après avoir justifié l’existence de l’intégrale pour tout entier n ≥ 1 :

(i) In = ∫ 1 0

( 1− e−t2/n

) dt ; (ii) In =

∫ R

net 2 + 1

ne2t2 + 4t2 λ(dt) ;

(iii) In = ∫ n 0

1 n

( 1 +

t

n

) e−t/n λ(dt) ; (iv) In =

∫ ]0,+∞[

sinu u2

u1/n

1 + u1/n λ(du) ;

(v) In = +∞∑ k=1

n+ k nk3/2 + k3

; (vi) In = ∫ +∞ 0

sin(nxn) nxn+1/2

dx.

Exercice 2.

Soit f la fonction définie sur R+ par f(t) = ∫ +∞ 0

( sinx x

)2 e−tx dx.

1. Montrer que f est continue sur R+ et deux fois dérivable sur R∗+. 2. Calculer f ′′ et les limites en +∞ de f et f ′. 3. En déduire une expression simple de f .

Exercice 3.

1. Montrer que la fonction f : x 7→ sinx ex − 1

est Lebesgue-intégrable sur [0,+∞[.

2. Montrer que, pour tout x > 0, on peut encore écrire f(x) sous la forme : f(x) = +∞∑ n=1

e−nx sinx. Est-ce vrai

en 0 ?

3. En déduire que ∫ +∞ 0

sinx ex − 1

dx = ∞∑ n=1

1 n2 + 1

.

Exercice 4.

1. Démontrer que h : θ 7→ ln(1− sin2 θ) est L.I. sur [0, π/2[.

2. On considère la fonction F : t 7→ ∫ π/2 0

ln(1 + t sin2 θ)λ(dθ) de R dans R.

(a) Montrer que F est définie et continue sur [−1,+∞[. (b) Établir que F est de classe C1 sur ]− 1,+∞[ et que

∀t ∈]− 1,+∞[, F ′(t) = ∫ π/2 0

sin2 θ 1 + t sin2 θ

λ(dθ).

3. (a) Montrer que ∀t ∈]− 1,+∞[, F ′(t) = π 2 √ 1 + t(1 +

√ 1 + t)

.

(b) En déduire que ∀t ∈ [−1,+∞[, F (t) = π [ ln ( 1 +

√ 1 + t

) − ln 2

] .

1

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Exercice 5.

Le but de cet exercice est de montrer que ∫ +∞ 0

sinx x

dx = π

2 .

1. (a) Montrer que l’intégrale généralisée I = ∫ +∞ 0

sinx x

dx est convergente.

(b) La fonction x 7→ (sinx)/x est-elle intégrable au sens de Lebesgue sur R∗+ ?

2. Pour tout t ≥ 0, on pose S(t) = ∫ +∞ 0

e−xt

x sinx dx.

(a) Montrer que S est de classe C1 sur ]0,+∞[. Calculer S′(t) pour t > 0. (b) Déterminer la limite de S en +∞ puis S(t) pour t ∈]0,+∞[.

3. Soit A > 0 et t > 0. Montrer que ∣∣∣∣∫ +∞ A

e−tx

x sinx dx

∣∣∣∣ ≤ 2A. 4. Établir que, pour tout réel A > 0,

lim t→0+

∫ A 0

e−tx sinx x

dx = ∫ A 0

sinx x

dx.

5. Conclure.

Exercice 6. Soit f ∈ L1R(λ). La transformée de Fourier de f est définie sur R par

f̂(t) = ∫

R f(x)eitx dx.

1. Pourquoi f est-elle bien définie sur R ? 2. Montrer que si f est paire, alors f̂ est à valeurs dans R. 2. Calculer la transformée de Fourier des fonctions définies sur R par f1(x) = e−x1{x>0} et f2(x) = e−|x|.

On suppose à présent que f(x) = 1

1 + x2 .

4. Soit (gn)n≥1 la suite de fonctions définies sur R par gn(t) = ∫ n −n

eitx

1 + x2 dx. Montrer que la suite (g′n)n≥1

converge uniformément sur tout intervalle [a,+∞[ tel que a > 0. En déduire que la fonction f̂ est dérivable sur R∗ et que, pour tout t > 0,

f̂ ′(t) = ∫

R

iu

t2 + u2 eiu du.

5. Montrer que f̂ est deux fois dérivable sur R∗+ et que f̂ ′′ = f̂ . 6. Calculer f̂(0) et la limite de f̂ en +∞. En déduire que pour tout t ∈ R, f̂(t) = πe−|t|.

Exercice 7. Soit µ une mesure de probabilité sur (R,B(R)).

1. Montrer que l’application ϕµ : t 7→ ∫

Re itx µ(dx) est bien définie sur R.

2. Calculer ϕµ pour les mesures suivantes :

µ1 = 1 2 δ0 +

1 2 δ1, µ2 =

n∑ k=0

Ckn 1 2k

δk, µ3 = +∞∑ k=0

e−α αk

k! δk, avec α > 0.

3. Que vaut ϕµ si µ est la mesure de densité 1 π

1 1 + x2

par rapport à la mesure de Lebesgue ?

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