Exercices de mathématique, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématique, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques concernant une feuille incomplète de remboursements de consultation de spécialiste et de frais pharmaceutiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les cases grisées, exercices.
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4D : MATHEMATIQUES - CONTROLE N°6 16/01/2012 Exercice 1 :

ABC est un triangle rectangle en A, tel que BC = 5 cm. O est le milieu de [BC]. a) Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ? b) Combien mesure le segment [AO] ? Citer la propriété. Exercice 2 :

O est le milieu d’un segment [IJ], C est le milieu du segment [OJ] et K est un point du plan tel que OK= OJ et JK = JC. a) Faire une figure (prendre par exemple IJ = 6,5cm). b) Quelle la nature du triangle IJK ? Justifier. c) Le triangle CJK est-il rectangle ? Si non, dire quelle est sa nature et justifier. Exercice 3 :

A O F C

B

Les points A, O, F et C sont alignés ; les droites (OB) et (AC) sont perpendiculaires. AC = 15 cm , AO = OF = 3 cm, BO = 6 cm.

a) Montrer que BC² = 180 et AB² = 45. b) Tracer (sur le sujet) le cercle de diamètre [FC] ; il coupe BC en H. Montrer que le

triangle FHC est rectangle. c) Montrer que les droites (AB) et (FH) sont parallèles.

Exercice 4 :

R, I et O sont trois points alignés dans cet ordre. (C) est le cercle de diamètre [RI] et (C’) est le cercle de diamètre [IO]. Soit A un point de (C) différent de I et R. La droite (AI) coupe (C’) en B. a) Faire une figure. b) Démontrer que les droites (RA) et (BO) sont parallèles.

A

B

C O

5 cm

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Corrigé Exercice 1 (5 points) :

a)(2,5 points) On sait que O est le milieu de [BC] et que ABC est rectangle en A. Or, si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse . Donc le centre du cercle circonscrit à ABC est O, milieu de l’hypoténuse [BC]. b) (2,5 points) On sait que O est le milieu de [BC], donc (OA) est une médiane, et que ABC est rectangle en A. Or si un triangle est rectangle, alors la médiane issue de l’angle droit a une longueur égale à la moitié de celle de l’hypoténuse. Donc le segment [AO] mesure 5/2, soit 2,5cm.

Exercice 2(3,5 points) :

a)(1 point).

I JO C

K

b) (2,5 points) On sait que O est le milieu du segment [IJ], donc (OK) est une médiane de IJK, et on sait que OK = OJ. Or, Si une médiane d’un triangle a pour longueur la moitié du côté correspondant, alors ce triangle est rectangle, d’hypoténuse ce même côté. Donc IJK est rectangle en K. c) (+ 0,5 point) Le triangle CJK n’est pas rectangle (pas de justification demandée). On sait que JK = CJ, donc, par définition CJK est isocèle en J

Exercice 3(5,5 points) :

a) (2,5 points) On sait que les droites (OB) et (AC) sont perpendiculaires, donc les deux triangles AOB et BOC sont tous deux rectangles en O. Or, d’après le théorème de Pythagore : BC² = OB² + OC² et AB² = OA² + AB² Donc :

/

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BC² = 6² + 12² = 36 + 144 = 180 AB² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45 b) (2 points) On sait que le triangle FHC est inscrit dans un cercle de diamètre [FC]. Or, si un triangle a l’un de ses côtés qui est un diamètre de son cercle circonscrit, alors il est rectangle, d’hypoténuse ce même côté. Donc FHC est rectangle en H. c) (1 point) Question bonus (+ 1 point).

Dans ABC, la plus grande longueur est AC. De plus AC² = 15² = 225, et AB² + BC² = 180 + 45 = 225. Donc AC² = AB² + BC². Par conséquent, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B.

On sait que FHC est rectangle en H, donc (FH) est perpendiculaire à (HC) c’est-à-dire à (BC), et on sait que ABC est rectangle en B, donc (AB) est perpendiculaire à (BC). Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième droite, alors elles sont parallèles. Donc les droites (AB) et (FH) sont parallèles

Exercice 4 (4 points) :

a) (1 point)

R II O

(C)

(C')

A

B

b) (3 points) On sait que Le triangle RAI a un côté, [RI] qui est diamètre de son cercle circonscrit (C), et on sait que le triangle BIO, a un de ses côtés, [IO] qui est diamètre de son cercle circonscrit (C’). Or, si un triangle a l’un de ses côtés qui est un diamètre de son cercle circonscrit, alors il est rectangle, d’hypoténuse ce même côté. Donc RAI est rectangle en A et BIO est rectangle en B. On en déduit que (RA) est perpendiculaire à (AI) et (BO) est perpendiculaire à (IB), c’est-à- dire aussi à (IA) . Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième droite, alors elles sont parallèles. Donc (RA) et (BO sont parallèles.

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