Exercices de mathématique 2, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des complexes, la nature géométrique.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rennes juin 1969 \

EXERCICE 1

SÉRIE C Résoudre, dans le corps des complexes, l’équation en z iz2 + (4i-3)z + i-5 = O.

EXERCICE 2

On considère la fonction f de la variable réelle x, définie par f(x) = V(2x - 2)(5 - x). 10 Étudier les variations de cette fonction, et construire sa courbe représentative, (C), dans un repère orthonormé (0, t, j). 20 Reconnaître la nature de la courbe (C). Déterminer l’aire du domaine plan limité par la courbe (C) et l’axe x’Ox.

EXERCICE 3

10 Dans le plan (0) rapporté à un repère orthonormé d’axes x’Ox, y’Oy, soit ( ) la droite d’équatiOli x = 1. a) Déterminer l’ensemble ( o) des points m de (0) tels que, si mn’appa r t i ent pasà( o)[(doncsi mE (0)−( o)], i lexi steunpoi nt M ,etunseul , symé− tr i quedempar r appor t aupoi ntder encontr edesdr oi tesOmet( ).b)Déter mi ner l apar ti e(00)de(0)− ( o)tel lequel appli cati onqui unpoi ntmde(Do), f ai tcor r espondr elepoi nt M ai nsi dé f i ni soi tunetr ans 2−xet y = y(2−x)x.RE N N ES69D ansl asui tedupr oblème,oncon f ondr a,d anslél ang ag e,une f i g ur e(y)′dup a)l adr oi ted ′équati onx =À,oùÀestunnombr eréeldonnénonnuletdi f f ér entde2;b)l adr oi ted ′équati ony µ,oùµestunnombr eréeldonnénonnul ; l adr oi ted ′équati ony = −1; l apar aboled ′équati ony = x2?Montr er que,d anscecas, i lexi steundépl acement per met t antdepasser del acour beàsatr ans f or mée.30 2et(y)unecour bed ′équati oncar tési enne y = f (x),qui admet ,enunpoi nt ad absci sseu(u− 0etu−2),unet ang entecoupant( ′)en J .Montr er q el acour be(r ), tr ans f or méede(y)par G,admetunet ang en G(a).En f oncti ondescoor donnéesdea,uetç = f eu)etdel apente,w = f ′(u),del at ang enteà(y)enacr i r el ′é G(y)en A =′ G(a)etcalculer l or donnée,Y K desonpoi ntd i nter secti on,K ,avec( I ).Montr er quelepoi ntl ,′ i Onpr endcommecour be(y)l adr oi ted ′équati ony = −1,dontonaétudiél atr ans f or mée, (r ),àl aquesti on20, Aestlemi li euduseg mentdéter mi népar lesdeuxasymptotessur l at ang enteà(r )en A. le domaine de définition. Donner l’expression de x en fonction de y = f(i) : x = g(y). 20 a) On désigne par ( ) la droite d’équation y = x. m étant un point quelconque du plan (II), on appelle m’ le symétnque de m par rapport à ( ) et M l’homologue de m’ dans la translation de vecteur direc- teur - 2t. On définit ainsi une trans- formation 0, composée de la symétrie par rapport à ( ) suivie de la translation de vecteur - 2t. Exprimer les coordonnées (X, Y) du point M = 0(m) en fonction des coordonnées (x, y) du point m. b) On appelle (r) l’homologue de (y) dans la trans- formation 0. Montrer que (r) est une partie de la courbe représentative, dans (II) rapporté à (0, t, j), de la fonction h définie par 1 y = h(X) = X–· X Étudier la fonc- tion h et construire (r). 30 On désigne par t un nombre réel strictement positif et l’on appelle A et Q les points de (f) d’abscisses respectives 1 et 1 + t. , a) Quelle est l’équation de la droite AQ? b) Exprimer en fonction de t l’abscisse, s, du point S de (r) où (r) admet une tangente parallèle à AQ. c) On pose s = 1 + r t, r étant un nombre réel compris entre 0 et 1. E xpr i mer r en f oncti ondet ;onobti entr = cp(t).Etudi er l a f oncti oncpetl ali mi tedecp(t)lor squet tend ver sO.40a)Déter mi ner l ai r e,cr (t),dudomai 00.t 72 SESSION NORMALE DE 1969 50 Le plan (rI) est maintenant rapporté au repère "* (0, u, ç) tel que .,.. u =-J et Montrer que l’un des axes du nouveau repère i :lst la droite ( ). Déterminer l’équa- tion de (r) dans ce nouveau repère et en déduire la nature géométrique de cette courbe.

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