Exercices de mathématique , Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématique , Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'étude de 320 familles ayant 5 enfants, Gestion de stock.
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Master de Mathématiques Première année Module H11

Feuille de TD numéro 3

Exercice 1 L'étude de 320 familles ayant 5 enfants s'est traduite par la distribution suivante :

Classe A B C D E F | Total

Nombre de garçons 5 4 3 2 1 0 |

Nombre de filles 0 1 2 3 4 5 |

Nombre de familles 18 56 110 88 40 8 | 320

_________________________________________________________

On veut comparer cette distribution à celle, théorique, qui est issue de l'hypothèse d'équiprobabilité entre les garçons et les lles à la naissance.

1. Quelle est la loi de probabilité du nombre de garçons dans une famille de cinq enfants, dans l'hypothèse d'équiprobabilité ?

2. À l'aide du test du khi-deux, tester l'hypothèse d'équiprobabilité avec un niveau α = 5%. Formuler exactement ce problème de test en précisant la loi considérée, le paramètre associé, les hypothèses, la statistique et la région critique.

On trouve la statistique du χ2 suivante : S = 11, 96. Voici une table de χ2 :

α\p 1 2 3 4 5 6 7 5% 3.84 6 7.81 9.49 11.07 12.6 14.07 1% 6.63 9.21 11.34 13.27 15.09 16.81 18.47

Fig. 1  Table de χ2 : α = P (χ2p > x)

Exercice 2 Si Yn suit la loi χ2(n), alors quand n → ∞, (Yn − n)/ √ n converge vers une loi

gaussienne dont l'on précisera les paramètres.

Exercice 3 Soit X un vecteur gaussien de loi N(0,Γ) sur R3 avec Γ =

( 3 −1 0 −1 3 0 0 0 2

) .

Trouver un endorphisme f de R3 tel que f(X) soit un vecteur gaussien dont les composantes forme un échantillon de loi N(0, Id) sur R3.

Exercice 4 Soit (µk)1≤k≤m une loi partout positive sur un ensemble ni et (µ̂k) les estimateurs empiriques associés à un échantillon de taille n de cette loi. On considère la statistique de Hellinger

Ln = 4n m∑ k=1

(√ µ̂k −

√ µk

)2 .

Comparer Ln à la statistique de Pearson Cn = n ∑m

k=1(µ̂k−µk)2/µk . En déduire que quand n→∞, Ln a la même loi limite que Cn (laquelle ?).

Exercice 5 Soit Xn le maximum obtenu en jetant n fois un dé. Montrer que la suite (Xn)n≥1 est une chaîne de Markov et calculer sa matrice de transition.

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Exercice 6 (Gestion de stock) Dans un bureau de tabac, la demande hebdomadaire par les clients de cartouches de cigarettes varie entre 0 et m, de probablités respectives (aj)0≤j≤m. On suppose que les demandes sont indépendantes d'une semaine à l'autre. Toute demande non satisfaite est un manque à gagner, et tout stock non vendu induit une perte d'ordre nancier. Le buraliste cherche une gestion rééchie. Tous les dimanches soirs, il vérie le stock restant et applique la méthode suivante. Il se xe un seuil A, et si le stock est au moins A, il ne passe pas de commande ; sinon il passe une commande pour avoir au total B cartouches (B ≤ m) le lundi à l'ouverture. Soit Yn la demande de la semaine n et Xn le nombre de cartouches en stock le dimanche de la semaine n.

1. Déterminer Xn+1 en fonction de Xn et Yn+1.

2. Montrer que c'est une chaîne de Markov et déterminer sa matrice de transition.

Exercice 7 Pour modéliser l'évolution de congurations génétiques dans une population, on est amené à considérer la chaîne de Markov suivante. Soit P la matrice de transition sur {0, 1, . . . , p} dénie par

P (i, j) = ( p j

)( i

p

)j ( 1− i

p

)p−j .

Autrement dit, pour i xé, P (i, ·) est la loi binomiale b(p, i/p). p est la taille de la population, i le nombre d'individus porteurs d'un certain caractère génétique.

1. Que vaut P (0, j) ? P (p, j) ? La chaîne est-elle irréductible ?

2. Que peut-on dire de Xn lorsque n tend vers l'inni ?

Exercice 8 Soit G = (E,A) un graphe ni, (E l'ensemble des sommets, A celui des arêtes). Notons ki le nombre de sommets contigus à i. Dénissons sur E la matrice de transition P par p(i, j) = 1/ki si j est contigu à i, nul sinon.

1. Montrer que si le graphe est connexe la matrice est irréductible.

2. Montrer que si k désigne la somme des ki alors la probabilité sur E dénie par πi = ki/k est invariante.

3. Une souris se promène sur un damier de 16 cases dans les directions horizontale et verticale uniquement. À chaque étape elle passe de la case qu'elle occupe à l'une des k cases voisines (k ≤ 4) avec probabilité 1/k. Montrer que la chaîne de Markov associée à ce mouvement est irréductible et calculer sa probabilité invariante.

4. La chaîne est-elle apériodique ?

Exercice 9 On considère une chaîne de Markov sur les sommets d'un triangle dénie par les règles suivantes : à chaque instant on se déplace sur le sommet contigu en sens trigonométrique avec probabilité 0 < p < 1 et dans le sens des aiguilles d'une montre avec probabilité 1− p.

1. Ecrire la matrice de transition de cette chaîne. Montrer qu'elle est irréductible et apériodique ; calculer sa loi stationnaire.

2. Calculer pour toute loi initiale µ : limPµ(Xn = 1, Xn+1 = 2), et limPµ(Xn = 2, Xn+1 = 1).

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