Exercices de mathématique 4 - mathématique-informatique - 2° partie, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 May 2014

Exercices de mathématique 4 - mathématique-informatique - 2° partie, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les mèthodes mathématiques - mathématique-informatique 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Etude de deux lieux géométriques, Etude du reste d’une division euclidienne...
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– Encadrements de I obtenus sur calculatrice ou tableur pour les valeurs de n demandées.

– Stratégie de démonstration du résultat conjecturé à la question 2. b.

Exercice 1. 21 : Etude de deux lieux géométriques – 06/2008 − Sujet 072

On considère un tétraèdre ABCD et un point I quelconque du segment [AB].

Le plan parallèle au plan (BCD) passant par I coupe la droite (AC) en J et la droite (AD) en K.

On désigne par L l’isobarycentre des trois points I, J et K.

On considère le point H projeté orthogonal du point C sur la droite (BL).

Le but de l’exercice est de déterminer le lieu géométrique du point L ainsi que celui du point H, lorsque le point I décrit le segment [AB].

Expérimentation

1. Réaliser à l’aide d’un logiciel une figure géométrique correspondant à cette situation.

2. Visualiser quelques positions du point L pour des positions différentes du point I sur le segment[AB].

On aura intérêt à utiliser le mode « trace »si cette fonction est disponible dans le logiciel utilisé.

Quel semble être le lieu géométrique du point L ?

Appeler l’examinateur pour une vérification de la conjecture faite.

3. Visualiser quelques positions du point H pour des positions différentes du point I sur le segment [AB]. Quel semble être le lieu géométrique du point H ?

Appeler l’examinateur pour une vérification de la conjecture faite.

Démonstrations

4. Démontrer une des deux conjectures émises.

Production demandée

– Obtention à l’écran de la figure demandée dans les questions 2 et 3.

– Une des stratégies de démonstration prévues pour répondre à la question 4.

Exercice 1. 22 : Etude du reste d’une division euclidienne – 06/2008 − Sujet 073 (spécialité)

Pour tout entier naturel non nul n on considère les deux nombres entiers 23 1N n n   et 2 1D n  .

Le but de l’exercice consiste à déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division enclidienne de N par D.

Expérimentation

1. Déterminer, à l’aide d’un logiciel, les valeurs du reste de la division euclidienne de N par D, pour toutes les valeurs de n comprises entre 1 et 50.

2. Représenter graphiquement ce reste en fonction de n.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la représentation obtenue.

3. Conjecturer, suivant les valeurs de n, l’expression du reste de la division enclidienne de N par D.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la conjecture trouvée.

Justifications

4. La conjecture formulée est-elle vraie ? Justifier.

Production demandée

– Obtention à l’écran de la représentation demandée dans la question 2. de la partie I.

– La conjecture faite dans la question 3. de la partie I.

– La stratégie prévue pour valider ou invalider la conjecture faite.

Exercice 1. 23 : Etude de lieux géométriques – 06/2008 − Sujet 090

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , on considère les points A(1 ; 0) et B(0 ; 1).

A tout point M du segment [AB], on associe les points P et Q, projetés orthogonaux respectifs de M sur les droites (OA) et (OB), et les points R et S, sommets du carré PRQS de diagonale [PQ] tels que

 ; 2

PR PS  

uur uur .

On note aussi I le milieu du segment [PQ].

Le but de l’exercice est d’étudier les lieux des points R et S lorsque M décrit le segment [AB].

1. a. Réaliser une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

Appeler l’examinateur pour vérification de la figure.

b. Visualiser les lieux des points R et S quand M décrit le segment [AB], puis émettre une conjecture sur la nature de ces lieux.

Appeler l’examinateur pour vérification de la conjecture.

c. Déterminer de manière expérimentale une équation du lieu du point S.

Appeler l’examinateur pour vérifier la réponse et expliquer les manipulations effectuées.

2. Dans cette question, on se propose d’étudier ces conjectures en se plaçant dans le plan complexe. On

appelle x l’abscisse du point M, avec  0 ;1x .

a. Montrer que l’affixe de M est :  1x i x  .

b. Déterminer l’affixe de R ou celle de S. Justifier l’une des conjectures émises à la question 1.

Production demandée

– Visualisation à l’écran de la figure ;

– Démarches et réponses argumentées pour les questions 2. a. et 2. b.

Exercice 1. 24 : Triangle inscrit dans une courbe donnée – 06/2008 − Sujet 093

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j . On appelle (E) la courbe d’équation 1

y x  .

On désigne par a, b, c trois réels non nuls, deux à deux distincts, puis par A, B, C les points de (E) d’abscisses respectives a, b, c.

Le point H est l’orthocentre du triangle ABC.

On appelle C le cercle circonscrit au triangle ABC, son centre est le point E.

Le point D est le symétrique du point H par rapport à O.

Le but de l’exercice est d’observer la position de certains points de la figure et d’étudier celle du point H.

1. a. Construire la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie.

Appeler l’examinateur pour lui montrer la figure construite.

b. Faire varier a, b, c et émettre une ou deux conjectures concernant :

– la position du point H ;

– la position du point D.

Appeler l’examinateur pour vérifier les conjectures.

c. A l’aide de manipulations appropriées, émettre une conjecture sur les ordonnées des points D et H en fonction de a, b, c, puis sur l’abscisse de H.

Appeler l’examinateur pour vérifier la conjecture.

2. Démontrer la conjecture émise sur les coordonnées du point H.

3. Proposer une démarche permettant de démontrer la (ou les) conjecture(s) faite(s) pour le point D (on ne demande pas les calculs mais uniquement le plan proposé).

Production demandée

– Figure réalisée avec le logiciel de géométrie.

– Démarches et réponses argumentées pour les questions 2. et 3.

Exercice 1. 25 : Solutions d’une relation de congruence – 06/2008 − Sujet 097 (spécialité)

Le but du problème est de déterminer tous les entiers naturels n vérifiant la propriété P :

« n2 + 11 est divisible par n + 11 ».

1. En utilisant un tableur ou une calculatrice déterminer tous les entiers naturels n inférieurs ou égaux à 121 = 112 vérifiant la propriété P.

Appeler l’examinateur, lui donner le résultat trouvé et expliquer la méthode utilisée.

2. On se propose, dans cette partie 2., de démontrer que tout entier naturel n vérifiant la propriété P est inférieur ou égal à 121.

a. Pour tout n entier naturel, calculer   2 11 11 11a n n n     .

Appeler l’examinateur, lui donner la valeur trouvée pour a et lui indiquer la méthode prévue pour résoudre la question 2. b.

b. Démontrer que tout n vérifiant la propriété P est inférieur ou égal à 121.

3. Conclure en donnant l’ensemble des entiers naturels vérifiant la propriété P.

Production demandée

– Explications orales pour les questions 1. et 2. a. et 3. ;

– Réponse argumentée à la question 2. b.

1. 2. Fiches élèves janvier 2007

Exercice 1. 26 : Sujet 001 : Expression du terme de rang n d’une suite récurrente

On considère la suite récurrente (un) de premier terme u0 = 0 et telle que, pour tout entier naturel n,

1 2 11n nu u n    .

1. En utilisant un tableur ou une calculatrice calculer et représenter graphiquement les 20 premiers termes de cette suite. Le nuage de points obtenus a-t-il une particularité ? Si oui laquelle ?

Appeler l’examinateur pour une vérification de la particularité trouvée

2. n étant donné, on peut calculer la valeur de un si on connaît la valeur de un−1. On voudrait à présent pouvoir calculer, pour n’importe quelle valeur de l’entier naturel non nul n, la valeur de un sans pour autant connaître la valeur de un−1. Pour cela il faudrait disposer d’une formule donnant un en fonction de n.

a. A l’aide des observations faites dans la première question, conjecturer une formule donnant, pour n’importe quelle valeur de l’entier naturel n, un en fonction de n.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la formule trouvée

b. Démontrer cette formule.

Production demandée

– Le nuage de points attendu dans la question 1 et la particularité trouvée à ce nuage.

– La stratégie de démonstration retenue à la question 2 ainsi que les étapes de cette démonstration.

Exercice 1. 27 : Sujet 002 : Recherche d’un lieu géométrique

Dans le plan P, on donne quatre points O, A, B et C et un cercle ( ) de centre O.

Le point M est un point quelconque variable sur le cercle ( ). On associe au point M l’unique point M’

du plan P défini par l’égalité : ' 2MM MA MB MC   .

Il s’agit de déterminer le lieu géométrique L du point M’ lorsque le lieu géométrique du point M est le cercle ( ).

1. a. à l’aide d’un logiciel de géométrie plane construire les points O, A, B et C, le cercle ( ) et un point libre M sur ce cercle.

b. Construire le point M’ associé à M.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la construction faite

c. En observant plusieurs positions du point M faire une conjecture sur la nature de la transformation du plan qui transforme M en M’ ainsi que la nature du lieu géométrique du point M’.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la figure réalisée et de la conjecture faite

2. a. Déterminer par le calcul la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M’.

b. Déterminer le lieu géométrique L du point M’.

Production demandée

– La figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique.

– Le calcul permettant d’obtenir la nature de la transformation.

– La caractérisation du lieu géométrique de M’ et sa justification.

Exercice 1. 28 : Sujet 003 : Problème d’optimisation

On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur la façade d’une maison. Sur cette façade, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer les eaux de pluies pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.

On donne ci-dessous le plan de cette façade ainsi que quelques dimensions, exprimées en mètre.

AB=10 m

BC=6 m

A

D C

B

H

M

Sur ce plan :

– [AM] et [BM] représentent les deux premiers tuyaux ;

– [MH] représente le troisième tuyau ;

– (MH) est la médiatrice de [DC].

On souhaite trouver la position du point M sur la façade de cette maison qui permet de minimiser la longueur des tuyaux à acheter et donc la dépense à effectuer.

On note Q le projeté orthogonal de M sur (BC) et on prend comme variable la mesure en radian de

l’angle aigu BMQ  .

1. a. Utiliser un logiciel de géométrie pour simuler la situation décrite précédemment.

b. En déduire une valeur approchée au centième de la valeur de  qui rend minimale la longueur des tuyaux. Déterminer, grâce au logiciel, une valeur approchée au centième de la longueur minimale totale des tuyaux.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la construction et des réponses trouvées

2. On définit la fonction g :  : 2g g MA MH    sur l’intervalle 0 ; 2

     

.

a. On note g’ la fonction dérivée de g. Démontrer que    

2

2sin 1 ' 5

cos g

 

   .

b. Déterminer la valeur exacte de  qui minimise la longueur des tuyaux.

Production demandée

– Les réponses attendues dans la question 1.

– Les démonstrations attendues dans la question 2.

Exercice 1. 29 : Sujet 004 : Nombre de solutions d’une équation

On donne un réel k. On s’intéresse au nombre de solutions de l’équation (E) : 2ln x kx pour x strictement positif.

1. En utilisant un logiciel de construction graphique ou une calculatrice graphique :

a. Conjecturer, suivant les valeurs de k, le nombre de solutions de l’équation (E).

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture.

b. Si k > 0, trouver graphiquement une valeur approchée de k pour laquelle l’équation (E) a une unique solution.

Appeler l’examinateur pour vérifier la valeur trouvée

2. Démontrer que pour k < 0, l’équation (E) a une unique solution.

Production demandée

– Pour la question 1. b., recopier la valeur approchée obtenue pour k.

– Réponse écrite pour la question 2.

Exercice 1. 30 : Sujet 005 : Comportement d’une suite définie par une relation de récurrence

Une suite v est définie par son premier terme v0 et par la relation de récurrence :

pour tout entier naturel n, 1 1

6 2

n nv v    .

1. A l’aide de la calculatrice ou du tableur, émettre une conjecture sur la limite l de la suite v, selon les valeurs de v0.

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture

2. La suite w est définie pour tout entier naturel n par wn = vnl.

a. Observer à la calculatrice ou au tableur les premiers rangs de la suite w. Quelle semble être la nature de la suite w ? est-elle arithmétique ? géométrique ? ni arithmétique, ni géométrique ?

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture

b. Démontrer la propriété conjecturée sur la nature de la suite w.

c. Exprimer pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n.

d. Déterminer la limite de la suite v.

e. Ce résultat est-il cohérent avec l’expérimentation ?

Production demandée

− Réponses écrites pour les questions 2. b., 2. c., 2. d., 2. e.

Exercice 1. 31 : Sujet 007 : Courbe représentative de la fonction exponentielle

On désigne par a un nombre réel.

Dans un repère orthonormal du plan, on considère la courbe C , représentative de la fonction exponentielle et la droite Da d’équation y = ax.

1. En utilisant un logiciel de construction graphique ou une calculatrice graphique, dire si les propositions suivantes semblent vraies ou fausses :

– Proposition 1 : La courbe C est au-dessus de D1.

– Proposition 2 : Pour tout réel x, 3xe x .

– Proposition 3 : Il existe une valeur de a pour laquelle la droite Da est tangente à la courbe C.

Appeler l’examinateur pour vérifier les réponses

2. En utilisant un logiciel de construction graphique ou une calculatrice graphique, conjecturer, suivant les valeurs du réel a, la position relative de C et Da.

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture

3. Justifier la proposition 3 de la question 1.

Production demandée

− Réponse écrite pour la question 3.

Exercice 1. 32 : Sujet 008 : Planètes et ajustement

Le tableau ci-contre donne, pour chaque planète du système solaire, sa période de révolution et le rayon de l’orbite considérée comme circulaire.

A B C

Planète r (en m) T (en s)

Mercure 5.79E+10 7.60E+06

Vénus 1.08E+11 1.94E+07

Terre 1.49E+11 3.16E+07

Mars 2.28E+11 5.94E+07

Jupiter 7.78E+11 3.74E+08

Saturne 1.42E+12 9.30E+08

Uranus 2.87E+12 2.66E+09

Neptune 4.50E+12 5.20E+09

1. Entrer sur une feuille de calcul d’un tableur les données des colonnes A, B et C. Tracer à l’aide du tableur le graphique représentant la période T en fonction du rayon r.

Combien de points apparaissent nettement sur le graphique ? Les identifier et expliquer le phénomène.

2. Faire afficher le graphique donnant ln(T) en fonction de ln(r). Combien de points apparaissent sur le graphique et que constatez-vous ?

Appeler l’examinateur pour lui montrer les graphiques obtenus

3. Déterminer, à l’aide du tableur le coefficient directeur d’une droite qui permet de donner un ajustement des points représentés. Quelle est l’équation de la droite que l’on peut retenir expérimentalement ?

Appeler l’examinateur pour lui présenter la procédure retenue et contrôler le résultat

4. En déduire que pour les huit planètes étudiées,   3

T k r où k est une constante réelle. Vérifier avec

le tableur.

Production demandée

– Pour la question 1, une analyse argumentée du graphique obtenu est attendue.

– Pour la question 2, une analyse du nouveau graphique obtenu est attendue. L’argumentation

fera l’objet des questions suivantes.

– Pour la question 3, préciser la méthode de calcul choisie pour établir une équation de la droite

d’ajustement.

– Pour la question 4, une rédaction détaillée du calcul de la valeur de k est attendue.

Exercice 1. 33 : Sujet 011 : Simulation d’une expérience aléatoire, lois de probabilités

On dispose d’une roue divisée en trois secteurs identiques numérotés 1, 2 et 3.

On suppose qu’après rotation, la roue s’arrête sur l’un des trois secteurs de façon équiprobable.

On fait tourner successivement trois fois de suite la roue dans le sens trigonométrique en supposant que chaque résultat est indépendant des deux autres.

S désigne la variable aléatoire définie par la somme des trois numéros obtenus.

La variable aléatoire D est le numéro obtenu lors de la seconde rotation.

1. Sur un tableur réaliser une simulation de taille 100 de cette expérience.

Appeler l’examinateur en cas de difficulté et pour valider.

2. Déterminer pour cette simulation les répartitions des fréquences de la variable aléatoire S.

Appeler l’examinateur pour valider les résultats.

3. En utilisant les résultats connus sur la répétition d’expériences indépendantes, déterminer les lois de probabilités des variables aléatoires S et D.

4. La simulation du 2. est-elle cohérente avec les valeurs théoriques obtenues au 3. ?

5. Les évènements « S=3 » et « D=1 » sont-ils indépendants ?

Production demandée

– Pour les questions 3 et 5, les réponses sont à justifier.

– Pour la question 4, une rapide explication de la cohérence est demandée.

Exercice 1. 34 : sujet 012 : Etude de lieux géométriques

B

I

A

C

M

SO

Le triangle ABC représente une équerre telle que AB = 3, AC = 6 et l’angle en B est droit.

Les points A et C glissent respectivement sur les demi-droites perpendiculaires [OM) et [OS).

Le point I est le milieu du segment [AC].

On s’intéresse aux lieux des points I et B.

1. Observer les propriétés géométriques de la figure. Avec un logiciel de géométrie, construire une figure dynamique illustrant la situation.

Appeler l’examinateur pour vérifier la construction ou en cas de difficulté

2. Visualiser, à l’aide du logiciel, le lieu du point I quand C décrit la demi-droite [OS). Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de ce lieu ?

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture

3. Visualiser, à l’aide du logiciel, le lieu du point B quand C décrit la demi-droite [OS). Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de ce lieu ?

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture

4. a. Donner les mesures des angles de l’équerre, puis celle de AOB (A distinct de O).

b. En déduire que le lieu de B est inclus dans une courbe simple dont on précisera la nature.

c. Démontrer que :  6sinOB OAB .

d. En déduire le lieu de B.

Production demandée

− Réponse écrite pour la question 4.

Exercice 1. 35 : Sujet 013 : Orthocentre

Dans le plan, ABC est un triangle quelconque.

On note K le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.

On s’intéresse au lieu (L) des points H quand C se déplace sur une droite parallèle à la droite (AB).

1. a. Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique, faisant apparaître les points A et B, le point C sur une droite parallèle à la droite (AB), le triangle ABC, le point H et le point K.

Afficher la trace du point H quand C varie sur la parallèle à (AB).

Faire une conjecture concernant la nature du lieu des points H

b. Vérifier à l’aide du logiciel (la vérification par le calcul n’est pas demandée ici) l’égalité (e) :

KH KA KB KC   .

Appeler l’examinateur

2. à partir de cette question, le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j ; les points A et B

sont donnés par leurs coordonnées : A(−1 ; 1) et B(1 ; 1). Le point C est sur l’axe des abscisses et a pour abscisse un réel x.

a. Demander à nouveau le lieu (L) des points H.

b. Quelle en serait une équation ?

3. Vérifier la conjecture émise en traçant le lieu des points H grâce à son équation.

Appeler l’examinateur

4. En admettant que K a pour coordonnées 22

0 ; 2

x      

et l’égalité (e) donnée à la première question, en

déduire les coordonnées de H puis l’équation de (L).

Production demandée

– Calculs et démonstration relatifs à la question 4.

Exercice 1. 36 : Sujet 015 : Distance de deux droites dans l’espace

1. L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . A l’aide d’un logiciel de géométrie dans

l’espace, faire figurer les points A(0 ; 0 ; 1), B( 1 ; 1 ; 0) et C(1 ; −1 ; 1), les droites (OB) et (AC), un point M mobile sur la droite (OB) et un point N mobile sur la droite (AC).

2. Afficher la distance MN et essayer de placer des points M et N de façon à minimiser cette distance. Donner une valeur approximative de cette distance minimale.

Appeler l’examinateur pour vérifier la figure

3. Combien de couples de points (M ; N) répondant à cette condition de distance minimale semble-t-il y avoir ? Afficher les coordonnées de ces points.

4. Quelles semblent être les positions respectives des droites (MN) et (OB) d’une part, et (MN) et (AC) d’autre part ? Mettre en évidence cette conjecture, à l’aide du logiciel.

Appeler l’examinateur pour vérification

5. Calculer MN2. (On pourra écrire OM tOB et AN kAC . Vos résultats confirment-ils certaines de vos conjectures ?

Production demandée

– Réponses aux questions posées dans les questions 2, 3 et 4.

– Calculs et démonstration relatifs à la question 5.

Exercice 1. 37 : Sujet 016 : Modélisation d’une situation géométrique

Un agriculteur doit se rendre du point C de son champ à sa ferme F. Il se trouve à 3 kilomètres de la route qui mène à la ferme, et à 5 kilomètres de cette dernière, comme indiqué sur la figure suivante :

C

Champ

Ferme

FMH

Route

On considère que :

* Les points H, M et F sont alignés sur le bord de la route ;

* CH = 3 ; CF = 5 ;

* La droite (CH) est perpendiculaire à la droite (HF).

On note x la distance HM.

Le fermier cherche à économiser sa consommation de carburant. Il sait que sa consommation est :

* d’un litre de carburant par kilomètre parcouru sur la route

* de k litres de carburant par kilomètre parcouru à travers champs (le facteur k, avec k > 1, dépend de l’état du terrain : plus le terrain est accidenté plus k est grand).

On admettra pour réaliser l’étude expérimentale que la fonction « consommation de carburant », notée

fk, est définie par : pour tout réel x de [0 ; 4],   2 9 4kf x k x x    .

I. étude expérimentale

1. Recherche de la consommation minimale pour k = 2 : on cherche dans cette question à savoir en quel point M il faut rejoindre la route, dans le cas où la consommation à travers champ est le double de celle sur la route.

a. Tracer sur la calculatrice ou le tableur, en choisissant une fenêtre adaptée, la représentation graphique de la fonction f2.

b. Déterminer graphiquement ou à l’aide d’une table de valeurs un encadrement à 10−1 près de la distance HM en kilomètres correspondant à la valeur minimale de la consommation de carburant.

Appeler l’examinateur

2. Détermination graphique de la valeur limite k0 : le fermier, qui a un grand sens pratique, pense que si k est inférieur à une certaine valeur limite k0, il n’est pas utile de rejoindre la route et que couper directement à travers champ n’est pas plus cher ! On cherche à vérifier cette affirmation.

a. Tracer sur la calculatrice ou le tableur, en choisissant une fenêtre adaptée, les représentations graphiques des fonctions fk pour k  {1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 1,7 ; 1,8 ; 1,9 ; 2}.

Appeler l’examinateur pour vérification des courbes

b. Calculer fk(4) et interpréter cette valeur dans le cadre du problème.

c. Observer, expliquer et conjecturer la valeur k0 au-dessous de laquelle il est inutile de chercher à rejoindre la route.

II. Détermination de la fonction « consommation »

1. Exprimer CM en fonction de x.

2. Démontrer que, pour tout réel x de [0 ; 4],   2 9 4kf x k x x    .

Production demandée

Partie I.

– 1.b. Donner la valeur de la distance, en kilomètres, correspondant à la valeur minimale de la consommation de carburant.

– 2. b. et 2. c. Donner la valeur exacte de fk(4), interprétation. Donner la valeur expérimentale de k0 et expliquer.

Partie II.

– Rédaction des justifications demandées.

Exercice 1. 38 : Sujet 019 : Spécialité, Cryptographie

Le but de cet exercice est le cryptage et décryptage d’un message utilisant le « chiffrement à clef secrète ». On utilisera le codage informatique des lettres avec le code ASCII. Le message choisi est une citation de Mignon McLaughlin (journaliste et écrivain américaine, 1913-1983).

I- Expérimentation

Préliminaire : En informatique, le code ASCII consiste à associer à chaque caractère (lettre de l’alphabet, chiffre, signe de ponctuation, ...) un code numérique que l’on appelle son code ASCII.

Par exemple, le code de A est 65, celui de B est 66, celui de a est 97, celui de l’espace est 32... Le code utilisé est un entier n tel que 0  n  255.

Syntaxe : Dans la plupart des tableurs, la fonction «code» renvoie le code ASCII. La fonction réciproque est notée « CAR ». On entre « = CODE(‘’A’’) »pour obtenir le nombre 65 et on entre « =CAR(65) »pour obtenir la lettre A.

1. Cryptage

a. En utilisant le code ASCII, coder le message suivant :

Dans l’arithmétique de l’amour, un plus un égal...

Dans la zone de saisie du message, on ne mettra qu’une seule lettre par cellule et on n’oubliera pas de taper un espace pour séparer les mots. La zone de saisie du message est la ligne 1 à partir de la cellule B1. Le message codé avec le code ASCII apparaitra sur la ligne 2 à partir de la cellule B2.

Appeler l’examinateur

b. Le code ASCII ne constituant pas un codage bien secret, la ligne 3 consiste à crypter le code ASCII en utilisant le cryptage suivant :

On note C la fonction de cryptage qui, à tout n entier appartenant à [0; 255] associe le reste de la division de 7n par 256. Soit C(n) ce reste.

Compléter le tableau réalisé en 1. a., en y ajoutant à la ligne 3, les restes C(n) correspondant à chaque code n de la ligne 2.

Le tableau ci-dessous donne le début de la phrase et du codage à obtenir :

A B C D E F G H I J K L M N

1 message D a n s l a r i t h m

2 codage ASCII

68 97 110 115 32 108 32 97 114 105 116 104 109

3 message

codé 220 167 2 37 224 244 224 167 30 223 44 216 251

2 Décryptage à l’aide de la clef secrète

La fin de la citation de Mignon McLaughlin est cryptée par :

244 224 223 2 202 223 2 223 224 195 44 224 188 195 51 72 224

251 9 223 2 37 224 51 2 224 95 209 167 244 224 86 95 30 9

Pour décrypter la fin de cette citation, on note D la fonction de décryptage qui, à tout entier k appartenant à [0 ; 255], associe le reste de la division de 183k par 256.

Entrer en ligne les nombres cryptés ci-dessus, puis sur une nouvelle ligne, utiliser la fonction D pour lire la fin de la citation de Mignon McLaughlin.

Appeler l’examinateur

II- Justifications

1. Justification du codage : pour le codage ASCII, deux lettres de l’alphabet sont codées par deux nombres distincts.

Il faut s’assurer que le cryptage choisi au I- 1. b. code deux nombres n et p distincts, compris entre 0 et 255, par deux nombres distincts.

a. Montrer que, si C(n) = C(p) alors  7 0 modulo 256n p  .

b. En déduire que n = p. Justifier alors que le codage est valide.

2. Explication du décodage

a. Vérifier que 183 7 1modulo 256  et en déduire que  183 7 modulo 256n n  .

b. Expliquer pourquoi la fonction D, qui associe à k le reste de la division de 183k par 256, assure le décryptage attendu.

Production demandée

− 1. Partie I : Ecrire le message codé de la première partie de la citation et le message décodé

de la fin de la citation.

− 2. Partie II : Rédaction des justifications demandées.

Exercice 1. 39 : Sujet 021 : Equation différentielle et méthode d’Euler

Soit l’équation différentielle : y’ = −2y. On admet que la fonction f solution de cette équation, définie sur et vérifiant f(0) = 1 est la fonction f telle que f(x) = exp(−2x).

On cherche à comparer f(1) aux valeurs approchées obtenues en utilisant la méthode d’Euler avec différents pas.

On se place sur l’intervalle [0, 1] en prenant un pas h égal à 1

n , où n est un entier supérieur à 2.

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