Exercices de mathématique 4 - mathématique-informatique - 3° partie, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 May 2014

Exercices de mathématique 4 - mathématique-informatique - 3° partie, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les mèthodes mathématiques - mathématique-informatique 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Suite définie par récurrence, Barycentre, Triangle d’aire maximale, Spécial...
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On obtient ainsi, dans le plan muni d’un repère, une suite de points notés Mk, d’abscisse xk et d’ordonnée yk telles que :

x0 = 0, y0 = 1, et pour tout entier k tel que 0  kn−1, 1 1

k kx x n

   et 1 2

1k ky y n

      

.

Pour tout entier k compris entre 0 et n, yk est une valeur approchée de f(xk).

1. Déterminer l’expression de yk en fonction de k (n étant une valeur donnée).

Appeler l’examinateur pour faire vérifier l’expression obtenue pour yk

2. A l’aide d’un tableur, reproduire à l’écran et compléter le tableau suivant :

Valeur de n égale à k xk yk

10 0 0 1

Pas égal à 0,1 1 0,1 0,8

2 0,2

3

4

5

6

7

8

9

10

3. En déduire une valeur approchée de f(1).

Appeler l’examinateur et lui présenter le tableau de valeurs construit avec n = 10

Lui expliquer comment modifier le tableau lorsque n = 20 ou n = 30.

4. Réitérer la méthode dans les cas n = 20 puis n = 30 et donner les valeurs approchées de f(1) ainsi obtenues. Sur la copie, recopier et compléter le tableau suivant :

Valeur de n égale à 10 20 30 Valeur approchée de e−2

Valeur approchée de yn

5.A l’aide du tableur, représenter graphiquement dans un repère du plan la suite des points Mk obtenue à la question 4., dans le cas où n est égal à 30, ainsi que la fonction solution.

Appeler l’examinateur et lui présenter la représentation graphique réalisée.

Production demandée

– Calcul de yk en fonction de k.

– Réalisation et visualisation à l’écran de tableaux de valeurs obtenus à l’aide d’un tableur.

– Détermination de valeurs approchées de f(1) (tableau rempli).

– Visualisation à l’écran et si possible impression de la représentation graphique.

Exercice 1. 40 : Sujet 025 : Suite définie par récurrence

On définit la suite u pour tout entier n, n > 1 par   1

1 1

n

n

k

u k k n

  .

1. a. A l’aide d’un tableur, afficher les 30 premiers termes de cette suite puis afficher une représentation graphique de ces valeurs.

b. Quelle est l’allure du nuage de points obtenu ? Quelle conjecture peut-on faire ?

Appeler l’examinateur pour vérification

2. a. A l’aide du tableur, afficher les 5 premiers termes et une représentation graphique de 3n nv u .

b. Proposer une expression de vn en fonction de n et en déduire une expression de un en fonction de n.

Appeler l’examinateur pour vérification

c. Démontrer par récurrence que l’expression de un trouvée en 2. b. est valable pour tout *n .

Production attendue

– Réponse écrite aux questions 1. b., 2. b. et 2. c.

– Affichage à l’écran des valeurs et représentations graphiques correspondantes avec contrôle par l’examinateur.

Exercice 1. 41 : Sujet 026 : Barycentre

On considère A, B et C trois points du plan et k un réel de l’intervalle [−1 ; 1].

On note Gk le barycentre du système de points pondérés : {(A, k2 + 1) ; (B, k) ; (C,−k)}.

Le but de cet exercice est de déterminer le lieu des points Gk lorsque k décrit l’intervalle [−1 ; 1].

1. Visualisation à l’aide d’un logiciel de géométrie :

a. Construire les points A, B, C, G1 et G−1.

b. Construire le point Gk puis visualiser l’ensemble des points Gk lorsque k décrit [−1 ; 1].

c. Quelle est la nature de l’ensemble précédent ?

Appeler l’examinateur pour vérification

2. Justification mathématique :

a. Justifier, pour tout réel k de [−1 ; 1] l’existence du point Gk.

b. Démontrer que pour tout réel de l’intervalle [−1 ; 1], on a : 2 1

k

k AG BC

k

  

.

c. Démontrer la conjecture faite avec le logiciel. On pourra utiliser les variations de la fonction f définie

sur [−1 ; 1] par   2 1

x f x

x

  

.

Production attendue

– Réponses écrites aux questions 1. c. et 2. a. et b.

– Obtention à l’écran de la figure demandée à la question 1.

Exercice 1. 42 : Sujet 027 : Triangle d’aire maximale

On considère un triangle isocèle de périmètre fixé, égal à 15.

Le but de cet exercice est de déterminer parmi tous les triangles possibles celui dont l’aire est maximale.

1. Expérimentation à l’aide d’un logiciel de géométrie :

a. A l’aide d’un logiciel de géométrie, construire un triangle ABC isocèle en A, dont le périmètre est fixé et exactement égal à 15.

Appeler l’examinateur pour vérification

b. Parmi tous les triangles possibles, quelle semble être la nature du triangle d’aire maximale ?

Appeler l’examinateur pour vérification

2. Démonstration : on note x la longueur BC et A(x) l’aire de ABC.

a. Dans quel intervalle le réel x peut il prendre ses valeurs ?

b. Soit H le milieu de [BC], exprimer AH en fonction de x et en déduire que   225 30 4

x x x A .

c. Résoudre le problème posé.

Production attendue

– Réponses écrites aux questions 1. b. et 2. a., b. et c.

– Obtention à l’écran de la figure correspondant aux hypothèses au 1. a. avec éventuellement impression.

Exercice 1. 43 : Sujet 029 : Spécialité, PGCD

Pour tout entier naturel n, on définit deux entiers a et b en posant : a = 4n + 1 et b = 5n + 3.

On s’intéresse aux valeurs du PGCD de a et de b en fonction de n.

1. Conjecture avec un logiciel ou une calculatrice :

a. Sur un tableur, créer trois colonnes donnant les valeurs de n, a et b pour n variant de 0 à 100.

b. Remplir la quatrième colonne avec les valeurs du PGCD de a et de b.

Appeler l’examinateur pour vérification

c. Quelles semblent être les valeurs possibles de PGCD(a, b) ?

d. En observant les résultats obtenus sur le tableur, comment pensez vous pouvoir caractériser les valeurs de n telles que PGCD(a, b) = 7 ?

Appeler l’examinateur pour vérification

2. Démonstrations :

a. Démontrer la conjecture faite au 1. c.

b. En raisonnant par disjonction des cas, déterminer les valeurs de n telles que PGCD(a, b) = 7.

Production attendue

– Réponses écrites aux questions 1. c. et d. et 2. a. et b.

– Obtention à l’écran des valeurs demandées avec éventuellement impression.

Exercice 1. 44 : Sujet 030 : Spécialité, famille de cercles

Dans le plan, on considère un triangle OAB rectangle en O, de sens direct, et une droite (d) passant par O.

On note A’ le projeté orthogonal de A sur (d), B’ le projeté orthogonal de B sur (d) et (C) le cercle de diamètre [A’B’]. Enfin I est le pied de la hauteur issue de O dans OAB.

1. a. Faire une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie.

b. Quelle conjecture peut-on faire concernant les différents cercles (C) lorsque la droite (d) tourne autour de O ?

Appeler l’examinateur pour vérification

2. On considère la similitude directe S de centre I qui transforme A en O.

a. Quel est l’angle de cette similitude ? Justifier que l’image de O par S est B.

b. Déterminer les images par S des droites (AA’) et (d), puis celle du point A’.

c. Démontrer la conjecture faite au 1.

Production attendue

– Obtention de la figure à l’écran avec contrôle par l’examinateur au 1.

– Réponses écrites aux questions 1. b. et 2. a., b. et c.

Exercice 1. 45 : Sujet 031 : Tangentes à une parabole

Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère la parabole P d’équation 2 1

2 y x . Etant

donné un réel t non nul, on se propose de mettre en évidence, puis de démontrer une propriété du point

d’intersection des tangentes à la parabole P aux points M et M’ d’abscisses respectives t et 1

't t

  .

1. a. à l’aide d’un logiciel adapté, tracer la parabole P .

b. On se donne un réel t. Placer le point M d’abscisse t sur la courbe P.

c. Tracer la droite D tangente à P au point M.

Indication : Si le logiciel utilisé le nécessite, calculer d’abord le coefficient directeur de cette tangente.

Appeler l’examinateur pour qu’il vérifie la construction de P, M et D

d. Placer le point M’ d’abscisse 1

't t

  sur la courbe P. Tracer la droite D’ tangente à P en M’. Placer le

point d’intersection P des droites D et D’.

e. Lorsque t varie dans * , à quel ensemble le point P semble-t-il appartenir ?

Appeler l’examinateur pour lui présenter la figure construite et lui proposer une conjecture

2. Démonstration :

a. Donner les équations des droites D et D’.

b. Calculer les coordonnées du point P et conclure sur la propriété conjecturée.

Production demandée

Question 1

– Visualisation à l’écran et si possible impression de la figure réalisée avec le logiciel.

– Rédiger la conjecture relative au point P.

Question 2

– Calcul des équations des droites D et D’.

– Calcul des coordonnées du point P et conclusion.

Exercice 1. 46 : Sujet 035 : Demi-vie

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse (de courte durée). La concentration du médicament dans le sang est immédiatement maximale, puis elle diminue en fonction du temps. On fait l’hypothèse (H) suivante :

La diminution de la concentration entre deux instants t0 et t1 est proportionnelle à la fois à la durée t1 − t0 et à la concentration à l’instant t0.

On note C0 la concentration initiale et Cn la concentration au bout de n minutes. (On prendra pour unité de temps la minute et C0 = 1 pour unité de concentration initiale à la fin de l’injection).

1. On admet que l’hypothèse (H) conduit à la relation : 1n n nC C kC    où k est une constante positive.

a. Expliciter, pour n > 0, Cn+1 en fonction de Cn.

b. Quelle est la nature de la suite (Cn) ?

c. Exprimer Cn en fonction de n.

Appeler l’examinateur pour contrôler le résultat obtenu

2. On choisit k = 0, 035.

a. A l’aide d’un tableur calculer la valeur de Cn pour n allant de 1 à 300. Présenter les résultats dans un tableau comme ci-dessous :

A B C

1 n Cn

2 0 1

3 1 0,965

4 2

b. Tracer le nuage de points (n ; Cn) représentant l’évolution de la concentration sur 5 heures.

Appeler l’examinateur pour présenter le graphique

3. Etude de la demi-vie, c’est-à-dire la période au bout de laquelle la concentration du médicament dans le sang diminue de moitié.

a. Observations :

• Au bout de combien de minutes la concentration initiale aura-t-elle été divisée par deux ? Donner le résultat sous la forme d’un encadrement de deux entiers consécutifs.

• Quelle est la concentration au bout de 30 minutes ? Donner la valeur approchée à 10−2 près.

• Au bout de combien de minutes, cette dernière concentration aura-t-elle été divisée par deux ? Donner le résultat sous la forme d’un encadrement de deux entiers consécutifs.

• Que peut-on conjecturer ? Tester cette conjecture sur d’autres durées.

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture

b. Justification :

• Vérifier que pour tout entier naturel n, on a 20 190,5n n nC C C   .

• Valider la conjecture émise à la question 3. a.

Production demandée

− Réponses écrites pour les questions 1 et 3. b.

Exercice 1. 47 : Sujet 043 : Etude d’une courbe

On considère, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l’ensemble des points défini par

  C ; / 0, 0 et 1M x y x y x y     .

1. A l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice graphique, donner une représentation graphique de l’ensemble C.

Indication : on pourra exprimer y en fonction de x.

On constate que cette représentation graphique est une courbe qui ressemble à un quart de cercle. On admet de plus que C est une courbe tangente aux axes de coordonnées.

Appeler le professeur, lui montrer la figure et lui indiquer comment elle a été obtenue

On se propose de répondre à la question (Q) : C est-il un quart de cercle ?

2. Déterminer une équation du cercle  tangent aux axes de coordonnées aux mêmes points que C. Le tracer sur la même figure. Quelle réponse à la question (Q) peut-on conjecturer ?

Appeler le professeur, lui montrer la figure complète, lui indiquer la réponse conjecturée à la question (Q) ainsi que les stratégies prévues pour la

démonstration

3. Démontrer la conjecture trouvée et répondre à la question (Q).

Production demandée

– Recopie d’écran ou impression d’écran donnant C et  mettant en évidence la conjecture.

– Démonstration de la réponse à la question (Q).

Exercice 1. 48 : Sujet 044 : Somme de termes d’une suite

On considère la suite  n nu  définie pour tout n entier naturel par 3

nu n et la somme de ses premiers

termes 30 1 0

...

n

n n

k

S u u u k

     .

1. Donner la somme Vn des n + 1 premiers termes de la suite arithmétique des entiers naturels, soit

0 1 2 ...nV n     .

2. Avec un tableur ou une calculatrice programmable, calculer la valeur de Sn pour n allant de 1 à 30.

Appeler le professeur, lui montrer les calculs des termes S1, S2, …, S30 et lui indiquer la formule donnant

Vn

3. Avec un tableur ou une calculatrice programmable, calculer la valeur de 2nV dans les mêmes cas

particuliers. Que constate-t-on ?

Appeler le professeur, lui montrer les calculs, lui indiquer la formule

conjecturée et la méthode retenue pour la démonstration

4. A partir du constat ci-dessus, conjecturer une formule donnant la valeur de Sn en fonction de n, puis la démontrer. (On suggère une démonstration par récurrence.)

Production demandée

– Formule donnée sans démonstration exprimant Vn en fonction de n.

– Tableau des valeurs exactes des suites Sn et 2

nV pour n de 1 à 30 (par exemple en imprimant la

feuille de calcul).

– Formule, donnant Sn en fonction de n, conjecturée à partir du tableau précédent.

– Démonstration de la formule donnant Sn en fonction de n.

Exercice 1. 49 : Sujet 047 : Partage d’un triangle

Dans le plan on définit un triangle ABC non isocèle en A et dont les angles en B et en C sont aigus. On note a son aire.

On appelle H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC et l’on se place dans le cas où CH > BH.

On se propose de démontrer qu’il existe une droite et une seule perpendiculaire au côté [BC], en un point M, qui partage le triangle ABC en deux polygones de même aire.

1. Construire la figure demandée en utilisant un logiciel de géométrie dynamique. Déterminer, à l’aide du logiciel, la position de M en lequel la droite recherchée doit couper le segment [CH] pour répondre au problème posé.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la figure construite

2. Etudier le cas où le point M est sur le segment [BH].

Appeler l’examinateur afin qu’il vérifie la formulation de votre conclusion

3. On suppose que le point M est situé sur le segment [CH] et on pose CM = x. On appelle N le point d’intersection du segment [AC] avec la droite perpendiculaire à (BC) passant par M.

On note L la longueur du segment [CH]. On admet que la fonction f qui, à tout x de [0 ; L], associe l’aire du triangle CMN est continue.

On ne cherchera pas à expliciter f(x).

a. Que traduit l’égalité   2

a f x  ?

b. Préciser les variations de f à l’aide du logiciel. Déterminer la valeur de f(0).

c. Comparer f(x) et 2

a quand M est en H.

d. En déduire la réponse au problème posé.

Production demandée

– Figure réalisée avec emplacement du point M répondant au problème.

– Interprétation de l’égalité 3. a.

– Utilisation d’un théorème d’analyse.

Exercice 1. 50 : Sujet 052 : Suite de Syracuse

A tout n entier naturel (n > 1), on applique l’algorithme suivant : si n = 1 le processus s’arrête, sinon :

– si n est pair, on le transforme en 2

n ,

– si n est impair, on le transforme en 3n + 1.

On note à nouveau n le résultat obtenu et on ré-applique l’algorithme à ce n. Lorsque, pour l’entier n, l’algorithme aboutit à 1, on appelle « suite de Syracuse associée à n » la suite (finie) des entiers rencontrés pour passer de n à 1.

On note L(n) le nombre d’entiers de cette suite finie. L(n) est la longueur de la suite de Syracuse associée à n.

Exemple : pour n = 5 on obtient successivement les nombres 5 − 16 − 8 − 4 − 2 − 1 et donc L(5) = 6.

1. a. A l’aide d’un tableur, appliquer cet algorithme aux entiers compris entre 1 et 10.

b. Compléter alors la feuille de calcul en donnant les suites de Syracuse des 100 premiers entiers.

c. Préciser les valeurs de L(26) et L(27).

Appeler l’examinateur pour vérification du tableau construit

2. Etude de quelques résultats particuliers relatifs aux longueurs des suites L(n) pour n entier naturel.

a. Quelle est la longueur des suites de Syracuse associées aux nombres de la forme 2p pour p entier naturel non nul ?

b. Que remarque-t-on quant aux suites de Syracuse associées aux nombres de la forme 8k + 4 et 8k + 5 pour *k .

Appeler l’examinateur pour vérification des conjectures émises

c. Démontrer la conjecture émise en 2. b.

3. Démontrer que si le reste de la division euclidienne de n par 4 est 0, 1 ou 2 alors l’algorithme amène nécessairement, au bout d’un certain nombre d’étapes, à un entier strictement inférieur à n.

La conjecture de Syracuse affirme que pour tout entier non nul n le processus aboutit à 1.

La longueur de la suite quant à elle n’est pas, à l’heure actuelle prévisible, en toute généralité.

Production demandée

– Construction du tableau des suites de Syracuse pour les 10 premiers entiers.

– Le tableau pour les 100 entiers sera simplement visé par l’examinateur.

– Enoncé des conjectures du 2. – Preuve de 2. b. et de 3.

1. 3. Autres sujets

Exercice 1. 51 : Les courbes de Pierre Bézier

Monsieur Bézier était un ingénieur de Renault qui se trouva confronté à un problème mathématique lié à l'apparition des machines à commande numérique dans l'industrie au cours des années 1970.

Pour envoyer des commandes standard, il fallait que les machines puissent reproduire les formes demandées exactement comme elles leur avaient été fournies. On peut bien sûr mesurer un certain nombre de points dans l'espace et donner les coordonnées puis joindre les points avec des segments mais ce n'est pas vraiment satisfaisant quand on veut quelque chose qui ne ressemble pas à un véhicule extra-terrestre : c'est ce qu'on fait d'ailleurs dans les jeux vidéo. L'idée est donc avec un certain nombre

de points de contrôle iM de construire une courbe ne dépendant que de ces points.

Nous nous plaçons ici dans le plan, la généralisation à l’espace étant immédiate.

On appelle courbe paramétrée l’ensemble des points M(x, y) du plan tels que ( )

, ( )

x f t t I

y g t

 

 où I est

un sous-ensemble de .

1. On se donne deux points A, B ainsi que la droite (AB).

a. Donner les équations paramétriques de (AB).

b. Tracer cette droite, soit avec un tableur en la considérant comme une courbe paramétrique (c’est la même chose que dans l’espace), soit avec un logiciel de géométrie en la considérant comme un lieu de points.

Dorénavant vous travaillerez soit avec un tableur, soit avec un logiciel de géométrie

2. Construire l’ensemble des barycentres M1 de {(A, u), (B, 1−u)} où u varie de 0 à 1. Quel est cet ensemble de points ?

3. On se donne un troisième point C.

a. Construire l’ensemble des barycentres M2 de {(B, u), (C, 1−u)} où u varie de 0 à 1. Quel est cet ensemble de points ?

b. Construire l’ensemble des barycentres P1 de {(M1, u), (M2, 1−u)} où u varie de 0 à 1.

c. Montrer que P1 est le barycentre de {(A, u2), (B, 2u(1−u), (C, (1−u)2}.

d. Vérifiez que la somme des coefficients vaut 1.

e. Quelle est la nature de l’ensemble 2  des points P1 ?

4. On se donne un quatrième point D.

a. Construire l’ensemble des points M3, barycentres de {(C, u), (D, 1−u)}.

b. Construire l’ensemble des points P2, barycentres de {(M2, u), (M3, 1−u)}.

c. Construire l’ensemble 2  des points Q1, barycentres de {(P1, u), (P2, 1−u)}.

d. Exprimer Q1 comme barycentre de A, B, C et D.

e. Que vaut la somme des coefficients ? Prouvez-le.

5. Que se passe-t-il sur 2  lorsqu’on déplace un point ?

6. Que peut-on dire de (AB) et de (CD) par rapport à 2  ?

7. On veut faire passer une courbe exactement par les points A, B, C et D. Pensez-vous que ce soit faisable avec cette méthode ?

8. Comment généraliser à davantage de points ?

Exercice 1. 52 : La méthode d’Euler : lancer d’un projectile

Le modèle est celui du canon : un obus est tiré dans l’axe du canon, suivant un angle  avec l’horizontale. L’obus sort de la bouche du canon avec une vitesse initiale v0 et suivant la tangente à la trajectoire.

A un moment donné, les forces agissant sur l’obus sont la

résistance de l’air R , proportionnelle au carré de la vitesse, dirigée à l’opposé de cette dernière (la vitesse est un vecteur représenté

par la tangente à la trajectoire) et le poids P orienté vers le bas.

Nous regardons tout d’abord ce qui se passe lorsqu’on ne tient pas compte des frottements.

On a dans le repère orthonormal ( ; , )O i j les coordonnées

(x(t) ; y(t)) du centre de gravité M de l’obus, la vitesse ( '( ) ; '( ))v x t y t

et l’accélération ( ''( ) ; ''( ))a x t y t . Les conditions initiales sont

0 ( (0) ; (0)) 0M O x y   et 0 0 0( '(0) ; '(0)) ( cos ; sin )v x y v v   .

Les équations du mouvement sont en suivant les lois de Newton :

''( ) 0

''( )

x t ma R P ma mg a g

y t g

        

  (1).

Toutes les représentations se feront avec un angle  de 60° et une vitesse v0 de 100 m.s−1. Ces valeurs seront stockées dans les cellules B1 et B2 du tableur de manière à pouvoir être modifiées.

1. On pose ( ) '( )X t x t et ( ) '( )Y t y t .

a. Vérifier que l’approximation affine du système (1) est ( ) ( )

( ) ( )

X t h X t

Y t h Y t gh

  

   (2).

b. Quelles conditions initiales donneriez-vous ?

c. Représentez les solutions X(t) et Y(t) à l’aide du tableur (500 valeurs). Quelle est l’interprétation physique de ces solutions ?

M

R

P

v

0v

O x

y

d. Calculez pour toutes les valeurs précédemment obtenues la quantité 2 2( ) ( ) ( )t X t Y t   . Interprétez

les résultats physiquement.

2. a. Donnez la solution exacte du système '( ) 0

'( )

X t

Y t g

 

  avec les conditions initiales 0

0

(0) cos

(0) sin

X v

Y v

 

 . Que

vaut la quantité  ?

b. Evaluez l’écart entre les solutions exactes et celles obtenues par la méthode d’Euler. Que pensez-vous du résultat ?

3. On cherche la trajectoire de l’obus.

a. Montrez que le problème revient à résoudre '( ) ( )

'( ) ( )

x t X t

y t Y t

 

 (3) où X et Y sont les solutions trouvées

précédemment.

b. Vérifiez que l’approximation affine du système est ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t h x t hX t

y t h y t hY t

      

. Quelles sont les conditions

initiales ?

c. Représentez les solutions x(t) et y(t) à l’aide du tableur (500 valeurs). Quel est le type de courbe obtenue ?

d. On veut atteindre avec l’obus une cible située à 1 km de distance. Quelle doit-être l’inclinaison du canon ?

4. Vérification des solutions et de la trajectoire.

a. Montrez que les solutions exactes du système sont 0

2 0

( ) cos

1 ( ) sin

2

x t v t

y t gt v t

  

   

.

b. Tracez ces solutions sur la même représentation qu’au 3.

c. Calculez l’écart entre les solutions exactes et celles du 3. Conclusion.

d. Vérifiez que la courbe décrite par l’obus a pour équation 2 2 2 0

(1 tan ) tan 2

g y x x

v      .

e. Quelle doit-être l’inclinaison du canon pour atteindre avec l’obus une cible située à 1 km de distance ?

Exercice 1. 53 : Inversion

On considère l’hyperbole équilatère H d’équation 1

y x  , la rotation r de centre O, d’angle

4

  et la

transformation du plan complexe privé de l’origine : 1

: 'f z z z  .

Les justifications de votre travail peuvent être apportées par tous les moyens à votre disposition…

1. Hyperboles

a. Tracer H dans la fenêtre    5 ; 5 5 ; 5     .

b. Tracer la courbe H’=f(H). Montrer que si M’(x’, y’) est un point de H’ alors 2 2' 'x y   où  est une

constante à déterminer.

c. On pose pour tout t réel tel que cos t ne soit pas nul, '

cos

' t an

k x

t

y k t

 

  

. Quelle est la valeur de la constante

k ?

2. Lemniscate

Soit la courbe  , ensemble des points M(x, y) du plan tels que

1

cos

tan

x t

y t

 

  

,  ; , 2 2

t  

   

      

.

a. Par quelle transformation simple passe-t-on de H’ à  ?

b. Soit N d’affixe z x iy  d’image par f : N’ d’affixe ' ' 'z x iy  . Vérifier que 2 2

2 2

' x

x x y

y y

x y

 

     

.

c. Tracer l’image par f de  . On note L cette courbe qui est donc l’image de H par une succession de transformations.

d. Soit T une tangente à H en un point quelconque. L’image de T par les transformations précédentes devient-elle une tangente à L ?

e. Soit ABC un triangle constitué de trois points non alignés de  , A’B’C’ son triangle image sur L. Comparer les angles de ces deux triangles. Constatation ?

f. De même comparer les longueurs des côtés des deux triangles. Constatation ?

3. Aires

a. On veut calculer l’aire comprise entre H, l’axe (OX) les droites x=1 et x=5. A l’aide de ce que vous avez fait en 1. que suggérez-vous sans calculer d’intégrale.

b. Même question pour la longueur de la portion de H comprise entre x=1 et x=5.

c. Pouvez-vous donner une valeur approchée de la longueur totale de L ?

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