Exercices de mathématique 4, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des complexes, la fonction f de la variable réelle x.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rouen juin 1969 \

EXERCICE 1

1. Calculer (1+ i)2.

2. Résoudre dans le corps des complexes l’équation

z6− (1− i)z−i= 0.

EXERCICE 2

On considère la fonction f de la variable réelle x définie par

f (x)= x−1+e−x .

1. Étudier les variations de cette fonction. Construire la courbe représentative, (C ), dans un repère orthonormé d’axes xx, y y . On étudiera les branches in- finies de (C ).

2. Calculer l’aire, S(m), dudomaine limité par l’axe y y , la courbe (C ) et les droites d’équations y = x−1 et x =m,m étant un nombre positif donné.

Cette aire a-t-elle une limite quandm tend vers +∞ ?

EXERCICE 3

On donne un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox, y ′Oy . On considère les

deux fonctions vectorielles de la variable réelle définies par

t 7−→ −−−→ V1(t) = (a cosαt)

−→ ı + (a sinαt)

−→

et t 7−→ −−−→ V2(t) = (b cos t)

−→ ı − (b sin t)

−→ ,

a et b sont deux nombres positifs donnés (0< b < a) et où α est un entier positif non nul.

1. On désigne par M1 et M2 les points tels que

−−−→ OM1 =

−−−→ V1(t) et

−−−→ OM2 =

−−−→ V2(t) .

Quels sont les ensembles, (C1) et (C1), des points M1 et M2 quand t décrit R ?

Montrer que (

−−−→ OM2 ,

−−−→ OM1

)

≡ (α+1)t (mod2π).

Combien existe-t-il de droitesM1M2 passant par le point O ?

2. On considère le point M tel que

(α+1) −−−→ OM =

−−−→ OM1 +α

−−−→ OM2

et la fonction vectorielle

t 7−→ −−−→ V1(t) =

−−−→ OM .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Montrer que M appartient à la droiteM1M2.

Soit −−−→ V ′(t) le vecteur dérivé de

−−−→ V (t) . Calculer le produit scalaire

−−−→ V ′(t) ·

−−−→ V (t) .

En déduire la construction de la tangente en M à l’ensemble, (E), des points M . (On ne demande pas la construction de cet ensemble.)

b. Soit −−−−→ V ′′(t) le vecteur dérivé de

−−−→ V ′(t) . Quel est l’ensemble des points N

tels que −−−→ MN =

−−−−→ V ′′(t) ?

Déterminer α pour que cet ensemble soit l’ensemble (C1).

3. On suppose désormais que α= 1.

a. Quel est l’ensemble, (E), des points M ?

b. On pose A = a+b

2 , B =

ab

2 et l’on suppose t 6= k

π

2 (k ∈Z).

Former l’équation de la tangente (∆) à l’ensemble (E) au point M .

Montrer que (∆) est médiatrice deM1M2 ?

Cette tangente coupe xx enU et y y enV . Calculer z =UV 2 en fonction de t .

Montrer qu’il existe une valeur de t comprise entre 0 et π

2 pour laquelle

la longueurUV est minimale. (On calculera tg t .)

c. Montrer que les droites xx et y y sont les bissectrices de l’angleM1OM2.

La droiteM1M2 coupe xx enQ et y y en P .

Quelles sont les polaires de P et deU par rapport au cercle (V ), de centre V , passant par M1 et M2 ?

Montrer que le cercle (V ) coupe la droite UV en deux points, I ′ et I , conjugués harmoniques par rapport àU et M .

En déduire les coordonnées des points I ′ et I .

I étant le point ayant une abscisse positive, quel est l’ensemble des points

I lorsque t décrit l’intervalle ]

0 ; π

2

[

?

d. Montrer que les coordonnées dumilieu, ω, de IU sont

x = A

(

1+ 1

cos t

)

et Y = B

2 tg

y

2 .

En déduire que l’ensemble, (Γ), des points ω lorsque t varie sur l’inter-

valle ]

0 ; π

2

[

est une partie de la courbe d’équation

y = B

2

xA

x .

Construire (Γ).

Rouen 2 juin 1969

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