Exercices de mathématique 5, Exercices de Mathématiques

Exercices de mathématique 5, Exercices de Mathématiques

PDF (46.9 KB)
4 pages
65Numéro de visites
Description
Exercices de mathématique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, la transformation géométrique, les dispositions.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
SytasbourgCjuin1969.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1969 \

EXERCICE 1

PREMIÈRE COMPOSITION (1)

EXERCICE 1

Résoudre en nombres entiers (x, y) l’équation

x2− y2 = 1969.

EXERCICE 2

Dans un repère orthonormé on considère la courbe (L ) d’équation y = Log x et la courbe

(

L ′ )

d’équation y = Log3x.

1. Par quelle transformation géométrique peut-on déduire (

L ′ )

de (L ) ?

2. On donne deux nombres réels, h et x0 ; on suppose h positif (h > 0) et x0 ap- partenant à l’intervalle [+1 ; +∞[.

Les droites d’équations x = x0 et x = x0+h coupent (L ) [respectivement (

L ′ )

en A et B (respectivement A′ et B′).

Évaluer l’aire du domaine limité par le contour ABB′A′A.

La formule obtenue est-elle encore valable lorsque x0 est choisi dans l’inter- valle ]0 ; +1[ ?

EXERCICE 3

Le plan est rapporté au repère or honormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

, dont les axes sont notés

x′Ox et y ′Oy . Deux points, P et Q, appartiennent respectivement aux droites x′Ox et y ′Oy de façon que la distance PQ soit égale à l’unité de longueur ; on pose

(

−−→ Ox ,

−−→ PQ

)

= θ (mod 2π).

PREMIÈRE PARTIE - Dans cette partie, θ est donné. 1

1. Construire les deux points P et Q. En déduire les dispositions relatives des points P, Q (associés à θ) et P′, Q′ (associés à θ′) dans chacune des hypothèses suivantes :

θ+θ′ = 0 ; θ+θ′ =π ; θθ′ =π.

2. a. Donner, en fonction de θ, les coordonnées des points P et Q.

b. On appelle R le point du plan déterminé ainsi : le triangle PQR est rec- tangle en R et isocèle et

(

−−→ QP ,

−−→ QR

)

=+ π

4 (mod2π).

1. Le sujet remis aux candidats comportant des erreurs, la composition a été refaite. Le texte que nous publions ici est le texte rectifié, c’est-à-dire le texte sans les erreurs. (Note du Service des Annales.)

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Soit p,q,r les nombres complexes affixes des points P, Q, R dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Exprimer r en fonction de p et q et en déduire les coordonnées de R en fonction de θ.

3. a. Soit M le barycentre du système formé des trois points P, Q, R affectés respectivement des coefficients réels α, β,2γ (α+β+2γ 6= 0).

Vérifier que le point M a pour coordonnées

x = 1

α+β+2γ [y sinθ− (α+γ)cosθ]

et y = 1

α+β+2γ [(β+γ)sinθγcosθ].

b. On choisit α=β= 1 et γ= 0 : préciser la position, M0, du barycentre.

c. Comment doit-on choisirα,β et γ pour queMappartienne à la droite PQ (hypothèse no 1) ; pour que M appartienne à la droite RM0 (hypothèse no 2) ?

DEUXIÈME PARTIE - Dans cette partie, θ décrit l’intervalle ]−π ; +π].

1. Déterminer l’ensemble des points M0.

2. Démontrer que, α,β et γ étant choisis conformément à l’hypothèse no 1, l’en- semble des points M est en général une ellipse, dont on précisera l’axe focal ; examiner les cas singuliers.

3. α,β et γ sont choisis conformément à l’hypothèse no 2 et l’on pose

k = γ

α+γ .

a. Préciser les ensembles, E1 et E−1 des points M obtenus respectivement pour k = 1 et k =−1.

b. On suppose k2−1 6= 0.

Etablir que, pour une valeur donnée de k, l’ensemble, Ek des points M a pour équation

(xky)2+ (kxy)2 =

(

k2−1 )2

4 .

Écrire l’équation de Ek dans le repère (

O, −→ ı ′,

−→

)

déduit de (

O, −→ ı ,

−→

)

,

par la rotation de centre O et d’angle + Π

4 ; reconnaître alors l’ensemble

Ek .

DEUXIÈME COMPOSITION 2

EXERCICE 1

On définit la fonction f de la variable réelle y de la façon suivante :

x = f (y)= y2+ y −1, avec 06 y 6 5.

Quelle propriété du programme peut-on invoquer pour justifier l’existence d’une fonction ϕ telle que

2. Sujet donné aux candidats

Strasbourg 2 juin 1969

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

x = f (y) ⇐⇒ y =ϕ(x), avec −16 x6 29?

Calculer effectivement y en fonction de x, en donnant l’expression algébrique de ϕ(x). Calculer la dérivée y ′ =ϕ′(x).

EXERCICE 2

Soit a et b deux nombres complexes, distincts ou non, donnés ; on considère l’équa- tion

(E) z2− (b+1)z+a = 0,

z est une inconnue complexe.

1. À quelle condition concernant a et b l’équation (E) a-t-elle deux racines dis- tinctes ?

2. Résoudre (E) dans le cas particulier où a = i−1 et b = 2i.

EXERCICE 3

On donne, dans un plan (P), un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy . Soit m un point variable de (P) ; on appelle x et y respectivement l’abscisse et l’ordonnée dem. Soit M un point de (P), dont l’abscisse, X , et l’ordonnée, Y , sont définies en fonction des coordonnées dem par les relations

X = 1

y et Y =

1

x

On appelle T la transformation ponctuelle qui transformem enM .

Partie A

1. Trouver l’ensemble, (P1), des pointsm de (P) qui ont un transformé,M , par T .

2. Démontrer que T est une application bijective et involutive de (P1) sur lui- même.

3. Démontrer que O,m et M sont alignés.

4. Trouver l’ensemble des points invariants par T .

Partie B

On donne, dans (P), une droite (D), d’équation ax+by +c = 0 ; on pose

(D1)= (D)∩ (P1)

Soit (

D ′1 )

la transformée de (D1) par T .

1. Former l’équation de (

D ′1 )

.

2. On suppose que abc = 0.

Montrer que (D1) est une droite privée d’un point.

Comparer (

D ′1 )

à (D1).

3. On suppose que abc 6= 0.

Montrer que (D1) est une hyperbole prIvee d’un point. ,Préciser les asymp- totes de l’hyperbole et calculer sa distance focale en fonction de a, b et c.

Strasbourg 3 juin 1969

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie C

À tout pointm de (P1) on associe à présent le point M ′, d’abscisse X ′ et d’ordonnée Y ′, telles que

X ′ = 1

x et Y ′ =

1

y .

Soit T ′ la transformation ponctuelle qui transformem enM ′.

1. Trouver les points invariants par T ′.

2. Montrer que T ′ est le produit (ou la composée), dans un ordre quelconque de T et d’une transformation ponctuelle simple, S, que l’on précisera. Utili- ser cette propriété, ainsi que certains résultats établis dans les parties A ou B, pour traiter géométriquement (c’est-à-dire sans calcul) les deux questions suivantes.

3. Montrer queT ′ est une applicationbijective et involutive de (Pl) sur lui-même.

4. Déterminer les droites dont la partie contenue dans (Pl) est invariante par T ′.

Strasbourg 4 juin 1969

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome