Exercices de mathématique 6, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les couples de nombres réels, les nombres réels.
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[ Baccalauréat C Sud-Cameroun juin 1969 \

EXERCICE 1

Dans l’ensemble, E, des couples de nombres réels (a,b), le premier terme, a, n’étant

pas nul, on définit une loi de composition interne, notée ⋆ par la condition

(a, b)∗ (

a′, b′ )

= (

aa′, ab′+b )

.

1. Montrer que E est un groupe pour cette loi de composition. Ce groupe est-il

commutatif ?

2. Montrer que l’ensemble, F, des éléments de E de la forme (a, 0) constitue aussi

un groupe pour la même loi ⋆.

On considère l’application h de F dans l’ensemble, R′, des nombres réels non

nuls, définie par h[(a, 0)]= a.

Montrer que c’est un isomorphisme de F dans l’ensemble R′ muni de la mul-

tiplication des nombres réels.

EXERCICE 2

1. Résoudre dans l’ensemble,C, des nombres complexes les équations suivantes :

a. z2 = 2i ;

b. f (x)= x2−4x +5= 0.

2. Montrer que le polynôme

g (x)= x2− (1+2i)x2−3x +2i−1

admet pour zéro l’un des zéros de f (x).

3. Décomposer g (x) en un produit de facteurs du premier degré à coefficients

réels ou complexes.

EXERCICE 3

Soit un repère orthonormé xOy et le point A de coordonnées

x = 2

9 et y =−

3

2 .

On considère la droite (D) de coefficient directeur t passant par O et la droite (D′)

passant par A dont le coefficient directeur, t ′, est tel que

3t t ′+ t t ′+1= 0.

On suppose que t représente le temps et varie de −∞ à +∞.

1. Les droites (D) et (D′) peuvent-elles être parallèles ?

On appelle M leur point d’intersection. Montrer que, lorsque t varie, M décrit

l’ellipse (E ) d’équation 2 2

(

x −3

3

)2

+

(

y p 3

)2

−1= 0.

Tracer cette ellipse. Quelles sont les coordonnées des foyers de (E ) et les équa-

tions de ses directrices ? Comment le point M décrit-il sa trajectoire ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On pose t = tgθ, θ variant de − π

2 à +

π

2 a. Calculer en fonction de θ la longueur du segment OM et tracer la courbe

représentative des variations de OM en fonction de θ.

b. Soit B le point de coordonnées x = 6, y = 0.

Calculer en fonction de θ l’aire, s, du triangleOMB ; étudier les variations

de la fonction s(θ) ainsi obtenue et tracer sa représentation graphique,

(L), dans un repère orthonormé θOs.

Calculer l’aire géométrique de la surface comprise entre la courbe (L) et

l’axe des abscisses.

3. On considère la transformation qui, au point M d’affixe z, associe le point M

d’affixe z ′ telle que

z ′ = 6 z

z ,

z étant le conjugué de z.

Lorsque M décrit sa trajectoire, (E ), M ′ décrit une courbe (C ), que l’on déter-

minera.

Comment M ′ décrit-il sa trajectoire ? Trouver un produit de transformations

qui, à la courbe (E ), fasse correspondre le cercle (C ).

Sud-Cameroun 2 juin 1969

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