Exercices de mathématique 6 - Fonctions réelles de deux variables réelles, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 May 2014

Exercices de mathématique 6 - Fonctions réelles de deux variables réelles, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les mèthodes mathématiques - Fonctions réelles de deux variables réelles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exemple tiré de la physique : la loi des gaz parfaits, Représentati...
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Fonctions réelles de deux variables réelles

Fonctions réelles de deux variables réelles 1. Exemple tiré de la physique : la loi des gaz parfaits

1.1 Position du problème

Pour un gaz parfait, les physiciens ont établi une relation entre la Pression P de ce gaz, son volume V et

sa température T : PV

T = constante= k

On peut donc en déduire : P = T

V × k et deux autres relations analogues. Lesquelles ?

La première relation permet de dire que P est une fonction réelle des deux variables réelles T et V.

Interpréter de même les deux autres relations.

1.2 A température T constante

étudier la fonction P = T

V × k et tracer l'allure de son graphe dans un repère convenablement choisi d’un

plan.

1.3 A volume V constant

étudier la fonction P = T

V × k et tracer l'allure de son graphe dans un repère convenablement choisi d’un

plan.

2. Représentation graphique

2.1 Préliminaire

Soit z = f(x, y) une fonction réelle de deux variables réelles.

(1) Si y est constant (y = a), on a z = f1(x).

On peut représenter l’ensemble des points N(x ; z) dans un plan : c’est la courbe dont une équation est :

z = f1(x).

(2) Si x est constant (x = a’ ), on a z = f2(y). Que représente l’ensemble des points R(y ; z) dans un plan ?

(3) z = f(x, y) signifie que l’on a trois inconnues (x ; y ; z), dont une dépend des deux autres.

Que représente l’ensemble des points M(x ; y ; z) dans l’espace ?

2.2 Exemple : z = xy

Soit un repère orthonormé de l’espace.

(1) Si y est constant (y = a), la courbe représentative de z en fonction de x est une droite. Pourquoi ?

Lorsque a varie sur , on peut se demander quelle est l'allure générale de la surface obtenue. Pour

émettre une conjecture sur cette question, réalisons la construction suivante sous Geospace :

Ouvrir la figure du cube [-5 ; 5]3

On définit une variable réelle a, qui peut

varier dans l’intervalle [-5 ; 5]

Créer Numérique

Variable réelle libre dans un intervalle, puis

Bornes : -5 5 Nom de la variable : a

On crée le plan d'équation Y=a dans le repère

. Ce repère est nommé Rxyz par le

logiciel.

Créer Plan Défini par une équation

Equation : Y=a Nom du plan : pl1

On crée le projeté orthogonal de o dans le

plan d'équation Y=a

Créer Point Point image par

Projection orthogonale sur un plan

Nom du plan : pl1 Points de départ : o Images de ces points : W1

On crée le point W2, image de W1 par la

translation de vecteur , puis le point W3,

image de W1 par la translation de vecteur

Créer Point Point image par translation

(vecteur)

Translation de vecteur : vec(i) Points (de départ) : W1 Images de ces points : W2 Idem avec vec(k), W1 et W3.

On crée co1, courbe définie par Y=a*X, X

décrivant [-5 , 5].

Autrement dit, cette instruction crée la droite

d’équation y = ax.

Créer Ligne Courbe Graphe d’une fonction

plan : W1W2W3 Expression de la fonction : a*X Bornes : -5 5 Nombre de points : 5O Nom de la courbe : co1

On rend la variable a active au clavier, c’est

à dire que l’appui sur les touches « flèches »

fera varier la valeur de a.

Piloter Piloter au clavier , puis

cliquer sur « a réel libre de ... »

Maintenant, utilisez les touches du clavier pour tenter de visualiser l’ensemble obtenu.

Ce serait mieux si la droite obtenue laissait

une trace de son passage, non ?

Afficher Sélection trace , puis

cliquer sur « co1 courbe définie .... »

cliquer sur

Maintenant, utilisez à nouveau les touches du clavier pour tenter de visualiser l’ensemble obtenu.

Ce serait mieux si certains objets étaient

cachés. cliquer sur , puis , puis (pour rappels).

...Et si le tracé était limité au cube. Divers Limiter des dessins , puis

Nom du convexe : Cub5 Objets dont le dessin sera limité : co1

(2) Reprendre l’étude du (1) si x est constant (x = a).

(3) Reprendre l’étude du (1) si z est constant (z = a).

3. Méthode d’étude des fonctions réelles de deux variables réelles Une fonction réelle de deux variables réelles se représente graphiquement par une surface dans l’espace.

L’étude générale des fonctions réelles de deux variables réelles et des surfaces n’est pas au programme de TS.

Nous allons simplement utiliser des sections planes de ces surfaces pour étudier quelques-unes de leurs

propriétés.

Plus précisément, nous allons chercher l’intersection de ces surfaces par des plans parallèles aux plans de

coordonnées. Dans chacun de ces plans, il restera à étudier des fonctions réelles d’une variable réelle.

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