Exercices de mathématique 7, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les valeurs approchées des racines, le repère orthonormé d’axes, les coordonnées.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Sud-Vietnam juin 1969 \

EXERCICE 1

Résoudre l’équation

cos2[Log x]+

p 3

2 sin

[

Log (

x2 )]

− 1

2 =

1 p

2 ,

où Log x désigne le logarithme népérien du nombre réel positif x. (On ne cherchera pas à donner des valeurs approchées des racines.)

EXERCICE 2

Dans un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy, z ′Oz la position d’un point mobile M est donnée à l’instant t par ses coordonnées :

x = cos (

ωt 2 )

, y = sin (

ωt 2 )

, z = 5

2 ωt 2,

ω est une constante positive donnée.

1. Sur quelle courbe le point mobile M se déplace-t-il ?

2. Déterminer le vecteur vitesse instantanée à l’instant t . Quelle est la vitesse algébrique, v , du point M sur sa trajectoire orientée dans le sens des t crois- sants ?

3. On rappelle que, si s(t) est l’équation horaire du mouvement, on a v = d s

d t .

Quelle est l’équation horaire du mouvement, en prenant pour origine, sur la trajectoire, le point M0 correspondant à la position du point M à l’instant

t = 0 ?

EXERCICE 3

Le plan (Π) est rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy .

Partie A

On considère, dans ce plan, la famille, (C ), de cercles () d’équation

x2 + y2 −λ2x −2λy +1 = 0,

où le paramètre λ est un nombre réel (λ ∈R).

1. Quelle est la partie, L, de R telle qu’à chaque nombre λ de L corresponde un cercle () ?

Calculer les coordonnées du centre et le rayon de ().

Quel est, dans (Π), l’ensemble, (Γ), des centres des cercles () ?

L’application qui à λ fait correspondre le centre du cercle () est-elle une bijection de L sur (Γ) ?

2. Montrer que, quel que soit λ, le cercle () est orthogonal à un certain cercle, (A), dont on précisera le centre et le rayon.

3. À quelle condition les coordonnées (u ; v) d’un point m de (Π) doivent-elles satisfaire pour que, par m :

a. il passe deux cercles de la famille (C ) ;

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. il passe un seul cercle de la famille (C ) ?

Partie B

Soit f la fonction qui, à tout nombre x de l’intervalle ]−1 ; 0], fait correspondre le nombre

f (x) =

x (

x2 +1 )

x +1 .

1. Montrer que le signe de la dérivée, f ′, de f est celui de l’expression

− [

2x2(x +1)+ x2 +1 ]

.

Étudier les variations de f . Tracer son graphe, G, dans (Π) rapporté aux axes x′Ox, y ′Oy .

Le point O appartient à (G) : étudier la tangente à (G) en O.

2. Déduire de (G) la courbe (G ′) ayant pour équation, par rapport au repère donné,

y2(1+ x)+ x (

x2 +1 )

= 0.

3. Des résultats des questions précédentes déduire l’ensemble, E, des points du plan (Π) par lesquels il passe deux cercles de la famille (C ) et l’ensemble, E′, des points par lesquels il ne passe qu’un seul cercle de la famille (C ).

Sud-Vietnam 2 juin 1969

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