Exercices de mathématique 8, Exercices de Mathématiques

Exercices de mathématique 8, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan rapporté à un repère orthonormé, le point variable, le nouveau calcul.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Togo juin 1969 \

EXERCICE 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé xOy on considère les points M d’af- fixe i, P d’affixe 1 et Q d’affixe 2+ i.

Déterminer, sous la forme Z = az +b, la similitude S dans laquelle le vecteur −−−→ MO a

pour transformé le vecteur −−→ PQ .

Calculer l’affixe du centre de la similitude, le rapport et l’angle de similitude.

EXERCICE 2

Dans un plan on donne un cercle (C), de centre O, un point A intérieur à (C) et la polaire (∆) de A par rapport à (C). D’un point M variable sur (∆) on mène les tangentes MT et MT ′ au cercle (C), T et T ′ étant les points de contact. Transformer la figure par l’inversion de pôle A qui conserve le cercle (C). (t) et (t ′) étant les inverses des droites MT et MT ′, trouver l’ensemble des points communs à (t) et (t ′) lorsque M décrit (∆).

EXERCICE 3

Soit, dans un repère orthonormé xOy , la parabole (P) d’équation

(1) y2 = 2x

et, sur cette parabole, un point variable, M , d’ordonnée λ (λ 6= 0).

1. Exprimer en fonction de λ l’abscisse de M et le rapport dx

dy au point M .

Déterminer en fonction deλ les équations de la tangente MT en M à (P ), de la normale M N et de la droite (∆λ) symétrique de M N par rapport à la parallèle à Oy menée par M .

N etQ étant respectivement les intersections de M N et (∆λ) avec Ox, calculer QN .

En déduire que (∆λ) est la transformée de M N dans une transformation pro- duit d’une symétrie et d’une translation, toutes deux indépendantes du choix de M sur (P).

Pour quelles valeurs de λ les droites MT et (∆λ) sont-elles confondues ? Soit M1 et M2 les points correspondants.

2. Montrer que les droites (∆λ) passant par un point L0 (

x0 ; y0 )

donné sont dé- terminées par une équation en λ de la forme

(2) λ3++q = 0.

Écrire la relation entre x0 et y0 exprimant que l’équation (2) admet une ra- cine double (on pourra établir ou admettre que cette relation est donnée par 4p3+27q2 = 0

)

.

3. Soit le vecteur −−→ OL , de composantes 3

X = 3

2 λ 2 −1, Y =λ2

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

et le vecteur −−→ LH , dérivé de

−−→ OL par rapport à λ.

Montrer que L appartient à (∆λ) et que −−→ LH est porté par (∆λ).

4. Construire la courbe d’équation

y =

8

27 (x +1)3

et l’ensemble (E) d’équation

27y2 = 8(x +1)3.

Montrer que le point L défini au 3 appartient à (E) et, sans nouveau calcul, que (∆λ) est tangente à (E) en L.

Montrer, en utilisant un résultat du 1, que (E) et (P) sont tangents en deux points, que l’on précisera.

Togo 2 juin 1969

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