Exercices de mathématique 9, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les cercles orthogonaux, le repère cartésien, les formules.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Toulouse juin 1969 \

EXERCICE 1

Étant donné un entier naturel n, on considère les deux nombres a et b tels que

a = 2n2 et b = n(2n+1).

On désigne par d le PGCD de a et b, par m leur PPCM. Montrer que l’on a

b a = d et b2−a2 = m d2.

EXERCICE 2

On donne deux cercles orthogonaux, (Γ) et (

Γ ′ )

, sécants en A et B. Soit I un point de (Γ), J un point de

(

Γ ′ )

, distincts de A et de B. On suppose, en outre, les trois points I, J et A, d’une part, I, J et B, d’autre part, non alignés. Déterminer les inverses du cercle (Γ) et des cercles circonscrits aux triangles IJA et IJB dans l’inversion de pôle I qui laisse invariant le cercle

(

Γ ′ )

. Déduire de ce qui précède l’orthogonalité des cercles circonscrits aux triangles IJA et IJB.

EXERCICE 3

On considère, dans un repère cartésien xOy , la courbe (C ) représentative de la fonc- tion y = x3.

1. a. Écrire l’équation de la tangente en un point M de (C ) d’abscisse x. Si a désigne l’abscisse, différente de zéro, d’un point M0 de (C ), appliquer le calcul précédent à la détermination de l’abscisse du point de contact, M1, de (C ) avec la tangente à (C ) contenant M0 et distincte de la tangente à (C ) en M0.

Peut-on donner une interprétation analogue dans le cas où a = 0 ?

b. On pose x0 = a y0 = a3 ? On note T l’application de (C ) dans (C ) qui, au point M0, fait correspondre le point M1 défini ci-dessus et l’on définit de proche en proche le point Mn par les formules

M1 = T (M0) , M2 = T (M1) , . . . , Mn = T (Mn−1) .

Si (

xn , ; yn )

sont les coordonnées de Mn calculer xn en fonction de xn−1 et yn en fonction de yn−1.

En déduire les expressions de xn et yn en fonction de a et n.

c. Exprimer, en fonction de a et n, les coordonnées, xn et yn du barycentre, Gn , des points M0 ,M1, . . . , Mn affectés de coefficients égaux à 1.

Quelle est la position limite de Gn quand l’entier n augmente indéfini- ment ?

d. Calculer le birapport des quatre droites OMn , OMn+1, OMn+2, OMn+3 en fonction de xn et vérifier qu’il est indépendant de a et de n.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. a. Montrer qu’une solution quelconque de l’équation différentielle

(1) y ′+ yLog2= 0

(Log désignant le logarithme népérien)

est de la forme

y =λe−xLog2,

λ est une constante.

On désigne par (

γλ )

la courbe représentative de la fonction

y =λe−xLog2.

Demême, une solution quelconque de l’équation différentielle

(2) y ′+3yLog2= 0

est de la forme

y =µe−3x:Log2,

µ est une constante.

On désigne par (

γµ )

la courbe représentative de la fonction

y =µe−3x:Log2,

b. Les nombres xn et yn étant ceux définis au 1, b pour a = 1, montrer que les points I0 de coordonnées (0 ; +1), I1 de coordonnées (+1 ; x1) , . . . , In de coordonnées (n ; xn ) appartiennent, pour tout entier natureln, à l’une ou l’autre de deux courbes

(

γλ )

.

Peut-on énoncer un résultat analogue pour les points J0 de coordonnées (0 ; +1), J1 de coordonnées

(

+1 ; y1 )

, . . . , Jn de coordonnées (

n ; yn )

?

Toulouse 2 juin 1969

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