Exercices de mathématique appliquée 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématique appliquée 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants:Résoudre le système,Tracer H1,Application.
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[ Baccalauréat C Aix-en-Provence septembre 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Déterminer tous les couples (u, v) d’entiers relatifs vérifiant

5u−3v = 0.

2. En déduire les couples (p, q) d’entiers relatifs solutions de l’équation

5p−3q = 1

3. Résoudre le système

x ∈Z {

x ≡ 1 (mod5) x ≡ 2 (mod3)

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit P un plan affine euclidien et (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé de P.

Soit la fonction de R vers R

f : x 7−→ 1

2 Log

1+ x 1− x

.

1. Montrer que f est une fonction impaire. Étudier les variations de f et montrer que f définit une bijection de ]−1 ; +1[ sur R. Tracer la courbe représentative de f dans P.

2. Soit g la fonction réciproque de f ; quelles propriétés (ensemble de définition, sens de variation, continuité) de la fonction g peut-on déduire de l’étude de la fonction f .

Montrer que g est dérivable sur R et que g ′ = 1− g 2

3. Calculer

∫ 1 2

0

1

1− t2 dt

∫Log p 3

0

(

1− g 2(t) )

dt .

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Soit P le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On considère l’application F : R⋆ → P

t 7−→ m

telle que si x et y désignent les coordonnées dem dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

,

x = 2 (

t + 1

t

)

et y = t − 1

t .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Soit H l’hyperbole d’équation x2

16 −

y2

4 = 1.

Montrer que F (

R ⋆ )

=H (on pourra poser X = x

4 +

y

2 )·

Soient t et t ′ deux réels non nuls tels que F (t) =m et F (t ′) =m. Calculer en fonction de t ′− t et de t t ′ les coordonnées du vecteur

−−−→ mm′ =

−−−−−−−→ F (t)F (t ′) .

En déduire que F est bijective.

On désigne par H1 l’intersection de H avec le demi-plan d’équation x > 0 ; montrer que F

(

R ⋆

+ )

=H1 ,où R⋆+ =R+− {0}.

2. Déterminer les deux premières dérivées −→ V et

−→ Γ de l’application F ; montrer

que −→ Γ a une direction fixe.

3. Tracer H1 (on prendra ∥

−→ ı

∥= ∥

−→

∥= 2 cm). Placer les points A = F (1), m2 = F (2),m3 = F (3) et B = F (−1).

Partie B

Soientm(x ; y) etm′ (

x′ ; y ′ )

deux points deH ; on considère le pointM(X ; Y ) défini par ,

X = xx

4 + y y et Y =

xy ′+ xy 4

1. Calculer

(

x2

16 −

y2

4

)(

x′2

16 −

y ′2

4

)

; montrer que M appartient à H .

On note M =m⋆. La loi ⋆ est donc une loi de composition interne pour H . Montrer que :

∀(t ; t ′) ∈R⋆×R⋆,F (t)⋆F (t ′)= F (t t ′).

En déduire que F est un isomorphisme de (

R ⋆, ×

)

sur (H , ⋆).

2. En déduire que (H , ⋆) est un groupe commutatif.

Préciser l’élément neutre. Que représentem = F (

1

t

)

.

3. a. On suppose m′ 6=m,m′ 6=m, et M =mm′. En utilisant le A 1. montrer que la droite (mm′) est parallèle à la droite (AM).

b. On suppose m′ =m ; Montrer que la droite (mm) est parallèle à la tan- gente en A à H .

c. On suppose queM =mm,m 6= A etm 6= B ;Montrer que la droite (AM) est parallèle à la tangente enm à H.

d. On reprend les notations du A 3. De plus, on pose

m4 = F (4), m3 = F (

1

3

)

etm4/3 = F (

4

3

)

.

Montrer quem4 =m2⋆m2, etm4/3 =m4⋆m3. Construire géométrique- mentm4, puism3 ,puism4/3.

e. Soient trois pointsm, n, p de H tels quemn = q et np = r . Montrer que, si p 6= q etm 6= r , les droites (mr ) et (pq) sont parallèles, [Il est conseillé de calculer (mn)⋆p etm⋆ (np)].

Partie C

Soit C ∈H et soit l’application Φ : H H m 7−→ m⋆C

On suppose quem = F (t) et C = F (e), e réel distant de 1.

Aix-en-Provence 2 septembre 1977

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Démontrer quem est invariant parΦ si et seulement si t2 = c. En déduire que si C appartient à H1, Φ admet deux points invariants U et V. (on appellera U celui de ces deux points qui est situé sur H1). Montrer qu’alors H admet deux tangentes parallèles à la droite (AC) et que pourm distinct de U et V ,la droite (mΦ(m) est parallèle à (AC).

2. Application : soit C = F (4)=m4. Déterminer U, V et Φ (m3). Vérifier que la tangente en U à H est parallèle à (AC).

Aix-en-Provence 3 septembre 1977

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