Exercices de mathématique appliquée 10, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique appliquée 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les fonctions réelles f et g, les triangles équilatéraux, les variations de la fonction f.
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ClermontFerrandCjuin1977*.dvi

[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Les fonctions réelles f et g sont définies par :

f : R → R x 7−→

p 1+ x2 et

g : R → R

x 7−→ 1

p 1+ x2

Étudier les ensembles de définition des fonctions dérivées premières de f et de g , puis calculer la dérivée première, pour la valeur x de la variable, de chacune des fonctions f et g . Calculer, à l’aide d’une intégration par parties que l’on justifiera, l’intégrale

∫1

0

x3 √

(

1+ x2 )3

dx.

Étudier la limite, lorsque l’entier naturel n tend vers l’infini, de

Sn = 1

n

(

1

n

)3

[

1+ (

1

n

)2]3 +

(

2

n

)3

[

1+ (

2

n

)2]3 + . . .+

(

n−1 n

)3

[

1+ (

n−1 n

)2]3

EXERCICE 2 4 POINTS

Un plan affine euclidien P étant rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

,

on associe au point M de P dont les cordonées sont xM et yM le nombre complexe

zM = xM + iyM (i2 =−1), affixe deM .

Les réelsα,β, γ étant strictement positifs, les points A, B, C ont respectivement pour affixes

z =α, zB =β, zC = iγ.

On construit dans P les triangles équilatéraux CBA′, ACB′ et BAC′ de manière que ces triangles soient extérieurs au triangle ABC.

1. Calculer les affixes des points A′, B′ et C′ en fonction de α, β, γ et de

j =− 1

2 + i

p 3

2 .

Démontrer que les nombres complexes zA′−zA, zB′−zB, et zC′−zC ont lemême module.

2. On suppose que α=−1, β=+1, γ= p 3.

Déterminer les nombres complexes a, b et c demanière que l’équation

z3+az2+bz+c = 0 ait pour solutions zA′ , zB′ , zC′ .

PROBLÈME 12 POINTS

On désigne par P un plan d’un espace affine euclidien E dont la dimension est 3.

La distance de deux pointsM etN de E, ou normedu vecteur −−−→ MN , est notée

−−−→ MN

∥.

À tout couple (M ; N ) de points de E, on associe :

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

α. le réel ∆(M ; N )= ∥

−−−→ MN

∥ si les pointsM et N ont la même projection ortho-

gonalem sur P,

β. le réel ∆(M ; N )= ∥

−−−→ Mm

∥+ ∥

−−→ mn

∥+ ∥

−−→ nN

∥ si les pointsM et N ont, sur P, des

projections orthogonalesm et n distinctes.

On choisira un repère cartésien orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

de E tel que (

O, −→ ı ,

−→ )

soit un repère cartésien orthonormé de P.

1. On désigne par t un réel quelconque.

Le point M(t) de E est défini par l’égalité

−−−−−→ OM(t) = (cos t) ·

−→ ı + (sin t) ·

−→ + t ·

−→ k .

et le point L de P est tel que

−−→ OL =−→ı .

Démontrer que ∆(L, M(t))= |t |+ ∣

2sin t

2

.

2. Étudier les variations de la fonction f :

f : [−2π ; +4π] → R

t 7−→ |t |+ ∣

2sin t

2

Tracer la courbe représentative F de f dans un plan Γ affine euclidien, rap-

porté au repère cartésien orthonormé (

Ω, −→ u ,

−→ v )

. On prendra le centimètre

comme unité de longueur.

3. L’unité d’aire étant le centimètre carré, calculer l’aire de la partie du plan Γ limitée par F , par l’axe des abscisses et par les droites qui ont pour équations respectives t = 4Π et t =−2π.

4. α étant un réel strictement positif donné, on désigne par A le point de E tel que

−−→ OA =α

−→ k .

Quel est l’ensemble des points M du plan P tels que, étant un réel donné,

∆(A ; M)= ?

Discuter suivant les valeurs de .

Quel est l’ensemble des points N du plan (

O, −→ ,

−→ k )

tels que

∆(A ; N )= ?

Discuter suivant les valeurs de .

5. Étant donnés les réels α, β, γ strictement positifs et tels que β <α, les points A et B de E sont définies par :

−−→ OA =α

−→ k ,

−−→ OB = γ−→+β

−→ k .

Quel est l’ensemble des points S de P tels que

∆(A ; S)=∆(S ; B)?

Discuter suivant les valeurs respectives de γ et de αβ. 6. On désigne par ϕ une application affine de E sur E qui

a. laisse P globalement invariant et qui

Clermont-Ferrand 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

b. est telle que, quels que soient les points M et N de E,

∆(M ; N )=∆(ϕ(M) ; ϕ(N )).

Quelles sont les restrictions à P des applications affines ϕ ?

Prouver que, si m est la projection orthogonale de M sur P, ϕ(m) est la projection orthogonale de ϕ(M) sur P.

Trouver toutes les applications affinesϕ de E sur E qui possèdent les pro- priétés a. et b.

Clermont-Ferrand 3 juin 1977

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