Exercices de mathématique appliquée 11, Exercices de Mathématiques Appliqués

Exercices de mathématique appliquée 11, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (38.9 KB)
2 pages
209Numéro de visites
Description
Exercices de mathématique appliquée 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des nombres complexes, le plan affine euclidien orienté P, l’ensemble des fonctions numériques.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
ClermontFerrandseptembre1977*.dvi

[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Dans le corps des nombres complexes, calculer les racines cubiques de l’unité,

2. On note j =− 1

2 + i

p 3

2 .

À chaque nombre complexe z = x + iy (x et y réels) on associe le point M(z) de coordonnées (x ; y) dans un plan affine euclidien rapporté à un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox et y ′Oy .

On désigne par A, B, C, D les images respectives dans ce plan des nombres

−j, 2

j2 , −

2

j2 ,

4

j4

Démontrer que les quatre points A, B, C, D appartiennent à un même cercle.

(On pourra former d’abord l’équation du cercle passant par A, B, C).

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans le plan affine euclidienorienté P rapporté au repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

,

on considère les points A et B ayant respectivement pour coordonnées (1 ; 0) et

(−1 ; 0) et la droite D passant par A et de vecteur directeur −→ .

Soit s la similitude directe dont le centre est B, dont l’angle est l’angle droit positif et

dont le rapport est 1

2 .

1. Démontrer A′ = s(A). Montrer que l’ensemble des images M ′ des points M de D par s est une droite D′ qui coupe D en I. Déterminer I′ = s(I) et comparer λ et λ′ tels que

−−−→ A′M ′ =λ

−−→ A′I′ et

−−→ AM =λ

−→ AI .

(Représenter graphiquement les points et les droites).

2. Soit M ′′ le barycentre des points M et M ′ respectivement affectés des coeffi- cients 2 et −1. Démontrer que M ′′ est l’image de M dans une similitude directe s′′ de centre B et que l’ensemble des points M ′′ images des points M de D est une droite D′′ que l’on déterminera.

(Pour résoudre cette question on pourra soit utiliser les nombres complexes, soit introduire A′′ barycentre des points A et A′ respectivement affectés des coefficients 2 et −1 et montrer qu’il existe une similitude directe s′ de centre B telle que

s′(A)=M , s′(A′)=M eet s′(A′′)=M ′′

PROBLÈME 11 POINTS

Partie A

Soit E l’ensemble des fonctions numériques f d’une variable réelle, définies sur R trois fois dérivables sur R, et telles que

(∀x ∈R) f ′′′(x)−3 f ′′(x)+3 f ′(x)− f (x)= 0.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Déterminer k ∈R pour que la fonction qui à x associe ekx soit élément de E. 2. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction

numérique f d’une variable réelle soit élément de E est que la fonction g dé- finie par

x 7−→ g (x)= 1

ex f (x)

soit trois fois dérivable sur R et telle que

(∀x ∈R) g ′′′(x)= 0.

En déduire la forme générale des fonctions g , puis la forme générale des fonc- tions f de l’ensemble E.

Partie B

1. Soit E′ l’ensemble des fonctions réelles f qui, a, b et c désignant trois réels quelconques, associent au réel x le réel f (x)=

(

ax2+bx+c )

ex .

Soit F l’ensemble des fonctions numériques définies sur R.

On sait que F muni de l’addition, et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R. Démontrer que E′ est un sous-espace vectoriel de F , et que B =

{

f0, f1, f2 }

est une base de E′, avec f0(x)= ex , f1(x)= xex et f2(x)= x2ex .

2. Étudier les variations de la fonction f1, et tracer sa représentation graphique (C1) dans un repère orthonormé. On prendre pour unité de longueur le centi- mètre.

Tracer, dans le même repère, la représentation graphique (C0) de la fonction f0.

3. Soit m un nombre réel positif. L’unité d’aire est le centimètre carré. Calculer l’aire Am de la portion de plan limitée par les courbes (C0), (C1) et les droites d’équation x =m et x = 1, c’est-à-dire déterminée par les inégalités

{

m 6 x 6 1 xex 6 y 6 ex

Cette aire a-t-elle une limite lorsquem tend vers +∞. 4. Soit D l’application qui à toute fonction f de E′ fait correspondre sa fonction

dérivée.

Démontrer que D est un endomorphisme de E′. Déterminer les composantes deD

(

f0 )

, D (

f1 )

, et D (

f2 )

dans la base B.

Démontrer queD est bijective et déterminer les composantes deD−1 (

f0 )

,

D−1 (

f1 )

, etD−1 (

f2 )

dans la baseB, D−1 étant l’application réciproque deD.

Partie C

Soit α un nombre réel donné. À toute fonction f de E’, on associe la fonction définie sur R par

(x)= f (x+α)

1. Soit l’application qui à f fait correspondre .Montrer que ∈ E′. est-il un endomorphisme de E′ ?

Déterminer (

f0 )

, (

f1 )

et (

f2 )

dans la base B.

2. Soit T l’ensemble des applications lorsque α décrit R. Démontrer que T muni de la loi ◦ de composition des applications, est un groupe isomorphe à (R, +).

Clermont-Ferrand 2 septembre 1977

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome