Exercices de mathématique appliquée 11, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématique appliquée 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des nombres complexes, le plan affine euclidien orienté P, l’ensemble des fonctions numériques.
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[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Dans le corps des nombres complexes, calculer les racines cubiques de l’unité,

2. On note j =− 1

2 + i

p 3

2 .

À chaque nombre complexe z = x + iy (x et y réels) on associe le point M(z) de coordonnées (x ; y) dans un plan affine euclidien rapporté à un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox et y ′Oy .

On désigne par A, B, C, D les images respectives dans ce plan des nombres

−j, 2

j2 , −

2

j2 ,

4

j4

Démontrer que les quatre points A, B, C, D appartiennent à un même cercle.

(On pourra former d’abord l’équation du cercle passant par A, B, C).

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans le plan affine euclidienorienté P rapporté au repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

,

on considère les points A et B ayant respectivement pour coordonnées (1 ; 0) et

(−1 ; 0) et la droite D passant par A et de vecteur directeur −→ .

Soit s la similitude directe dont le centre est B, dont l’angle est l’angle droit positif et

dont le rapport est 1

2 .

1. Démontrer A′ = s(A). Montrer que l’ensemble des images M ′ des points M de D par s est une droite D′ qui coupe D en I. Déterminer I′ = s(I) et comparer λ et λ′ tels que

−−−→ A′M ′ =λ

−−→ A′I′ et

−−→ AM =λ

−→ AI .

(Représenter graphiquement les points et les droites).

2. Soit M ′′ le barycentre des points M et M ′ respectivement affectés des coeffi- cients 2 et −1. Démontrer que M ′′ est l’image de M dans une similitude directe s′′ de centre B et que l’ensemble des points M ′′ images des points M de D est une droite D′′ que l’on déterminera.

(Pour résoudre cette question on pourra soit utiliser les nombres complexes, soit introduire A′′ barycentre des points A et A′ respectivement affectés des coefficients 2 et −1 et montrer qu’il existe une similitude directe s′ de centre B telle que

s′(A)=M , s′(A′)=M eet s′(A′′)=M ′′

PROBLÈME 11 POINTS

Partie A

Soit E l’ensemble des fonctions numériques f d’une variable réelle, définies sur R trois fois dérivables sur R, et telles que

(∀x ∈R) f ′′′(x)−3 f ′′(x)+3 f ′(x)− f (x)= 0.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Déterminer k ∈R pour que la fonction qui à x associe ekx soit élément de E. 2. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction

numérique f d’une variable réelle soit élément de E est que la fonction g dé- finie par

x 7−→ g (x)= 1

ex f (x)

soit trois fois dérivable sur R et telle que

(∀x ∈R) g ′′′(x)= 0.

En déduire la forme générale des fonctions g , puis la forme générale des fonc- tions f de l’ensemble E.

Partie B

1. Soit E′ l’ensemble des fonctions réelles f qui, a, b et c désignant trois réels quelconques, associent au réel x le réel f (x)=

(

ax2+bx+c )

ex .

Soit F l’ensemble des fonctions numériques définies sur R.

On sait que F muni de l’addition, et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R. Démontrer que E′ est un sous-espace vectoriel de F , et que B =

{

f0, f1, f2 }

est une base de E′, avec f0(x)= ex , f1(x)= xex et f2(x)= x2ex .

2. Étudier les variations de la fonction f1, et tracer sa représentation graphique (C1) dans un repère orthonormé. On prendre pour unité de longueur le centi- mètre.

Tracer, dans le même repère, la représentation graphique (C0) de la fonction f0.

3. Soit m un nombre réel positif. L’unité d’aire est le centimètre carré. Calculer l’aire Am de la portion de plan limitée par les courbes (C0), (C1) et les droites d’équation x =m et x = 1, c’est-à-dire déterminée par les inégalités

{

m 6 x 6 1 xex 6 y 6 ex

Cette aire a-t-elle une limite lorsquem tend vers +∞. 4. Soit D l’application qui à toute fonction f de E′ fait correspondre sa fonction

dérivée.

Démontrer que D est un endomorphisme de E′. Déterminer les composantes deD

(

f0 )

, D (

f1 )

, et D (

f2 )

dans la base B.

Démontrer queD est bijective et déterminer les composantes deD−1 (

f0 )

,

D−1 (

f1 )

, etD−1 (

f2 )

dans la baseB, D−1 étant l’application réciproque deD.

Partie C

Soit α un nombre réel donné. À toute fonction f de E’, on associe la fonction définie sur R par

(x)= f (x+α)

1. Soit l’application qui à f fait correspondre .Montrer que ∈ E′. est-il un endomorphisme de E′ ?

Déterminer (

f0 )

, (

f1 )

et (

f2 )

dans la base B.

2. Soit T l’ensemble des applications lorsque α décrit R. Démontrer que T muni de la loi ◦ de composition des applications, est un groupe isomorphe à (R, +).

Clermont-Ferrand 2 septembre 1977

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