Exercices de mathématique appliquée 13, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématique appliquée 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’anneau commutatif, la fonction réciproque.
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[ Baccalauréat C Dijon juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On considère l’anneau commutatif Z/8Z dont les éléments sont notés 0, 1, 2, . . . , 7.

1. Quels sont les éléments inversibles de Z/8Z ?

Montrer qu’ils forment un groupe multiplicatif. Dresser leur table.

2. Résoudre dans Z/8Z×Z/8Z le système suivant :

{

3x+6y = 5 5x+2y = 3.

EXERCICE 2 5 POINTS

x étant réel, on note E(x) le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. On considère les fonctions :

ϕ : R → R x 7−→ x−E(x)

h : [0 ; 1] → [0 ; 1] u 7−→ |2u−1|

1. Soit f = h ϕ.

Démontrer que f est continue sur R, que f admet le réel 1 pour période et est une fonction paire.

Représenter graphiquement f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Soit F la restriction de f au segment

[

0 ; 1

2

]

.

Démontrer que F admet une fonction réciproque F−1 dont on précisera l’en- semble de définition et l’ensemble image.

3. Soit g = F−1 ◦ f .

Démontrer que g est définie, continue sur R, périodique de période 1 et paire.

k étant un entier relatif, exprimer g (x) en fonction de x et de k dans les deux cas suivants :

x

[

k ; k+ 1

2

[

x

[

k− 1

2 ; k

[

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension 3, (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

une base de E.

m étant un réel, soit ϕm l’endomorphisme de E (application linéaire de E dans E)

qui, au vecteur −→ u de coordonnées (x ; y ; z) associe le vecteur

−→ u1 = ϕm

(

−→ u )

de co-

ordonnées (

x1 ; y1 ; z1 )

telles que

x1 = 2mx+3y +mz y1 = (2−m)x+ (3m−2)y +6z z1 = (m−2)y +2mz

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs ϕm (

−→ ı )

, ϕm (

−→

)

, ϕm (−→ k )

.

2. Démontrer que, quel que soit le réelm, le systèmede vecteurs (

ϕm

(

−→ ı )

, ϕm (

−→

))

est libre. (On pourra étudier d’abord le cas particulierm = 2, puism 6= 2).

3. Déterminer l’ensemble des valeurs dem pour lesquels le système de vecteurs (

ϕm

(

−→ ı )

, ϕm (

−→

)

, ϕm (−→ k ))

est lié. En déduire l’ensemble des valeurs de m

pour lesquelles ϕm est un automorphisme de E.

4. On suppose m = 0.

Déterminer le noyau N0 deϕ0,l’image I0 deϕ0 et démontrer que N0 et I0 sont deux sous·espaces vectoriels supplémentaires de E.

5. On supposem = 2. Prouver queϕ2 est bijective et déterminer analytiquement l’application réciproque ϕ−12 .

Partie B

On rappelle que l’ensemble F des applications de R dans R, muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R.

1. À chaque triplet (x ; y ; z) de réels, on associe l’application f de R dans R :

(∀t ∈R) f (t)= xet + ytet + zt2et

e étant la base des logarithmes népériens.

Soit E l’ensemble des applications f , démontrer que E est un sous-espace vec- toriel de F et que les applications i , j , k de R dans R définies par :

i (t) = et

j (t) = tet

k(t) = t2et

forment une base de l’espace vectoriel E. (x ; y ; z) sont alors les coordonnées

de f dans la base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

2. On note f ′ et f ′′ les fonctions dérivées première et seconde de f .

Calculer pour t réel, f ′(t) et f ′′(t). En déduire que f ′ et f ′′ sont éléments de E.

3. On définit l’application ψ de E dans E telle que :

ψ( f )= 2 f + f ′+ f ′′.

Démontrer que ψ est un endomorphisme de E et déterminer dans la base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

les coordonnées x1, y1, z1 de ψ( f ) en fonction de coordonnées de

f .

En utilisant les résultats de A 5., prouver que ψ est une bijection de E sur E et déterminer ψ−1 sans nouveaux calculs.

4. Soit h élément de E définie par :

t ∈R, h(t)= (

−3−6t +4t2 )

et

Résoudre dans E l’équation :

ψ( f )= h.

5. Étudier et représenter graphiquement dans le plan rapporté à un repère or- thonormé la fonction f définie par

t ∈R, f (t)= (

1−3t + t2 )

et

Dijon 2 juin 1977

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