Exercices de mathématique appliquée 2, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique appliquée 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des valeurs, la fonction numérique.
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[ Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Établir que : quel que soit (a,b,q) ∈Z3, a b = b a bq .

La notation a b désigne le PGCD des entiers relatifs a et b.

2. Montrer que : quel que soit n ∈Z,

5n3−nn+2 = n+ (2∧38).

3. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que n+2 divise 5n3−n.

4. Quelles sont les valeurs de possibles de 5n3−nn+2 ?

En déduire l’ensemble des valeurs de n ∈Z telles que

5n3−nn+2= 19.

PROBLÈME 12 POINTS

1. Soit la fonction Qn−2 de la variable réelle t , dépendant de n, entier naturel supérieur à 2, donnée par

Qn−2(t)= 1− t + t 2 +·· ·+ (−1)n−2t n−2.

Montrer que, quel que soit t 6= −1,

Qn−2(t)= 1− (−1)n−1t n−1

1+ t .

En déduire que

1

1+ t = 1− t + t2+·· ·+ (−1)n−2t n−2+ (−1)n−1

t n−1

1+ t .

En intégrant les deuxmembres de cette dernière relation sur le segment [0 ; x](06 x 6 1), établir la relation

ln(1+ x)= Pn−1(x)+ (−1) n−1

+

x

0

t n−1

1+ t dt , (I )

en posant : Pn−1(x)= x x2

2 +·· ·+ (−1)n−2

xn−1

n−1 .

2. a. Soit la fonction numérique ϕ définie sur ]0 ; 1] par

ϕ(x)= ln(1+ x)

x .

Montrer que l’on peut prolonger cette fonction ϕ par continuité pour x = 0.

Soit f le prolongement ainsi obtenu sur [0 ; 1], donné par :

f (x) = ln(1+ x)

x si x ∈]0 ; 1]et

f (0) = 1.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

b. De l’étude des variations de la fonction θ, définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

θ(x)= x − ln(1+ x),

déduire que :

quel que soit x ∈]0 ; +∞[, x − ln(1+ x)> 0.

En utilisant cette dernière relation, montrer que :

quel que soit x ∈ [0 ; 1], f (x)6 1.

c. Cette fonction f étant continue sur [0 ; 1], on rappelle que l’intégrale ∫1

0 f (x)dx existe. Soit L sa valeur.

n étant un entier naturel non nul, montrer que :

06 ∫ 1

n

0 f (x)dx 6

1

n .

En déduire que lim n→+∞

∫ 1 n

0 f (x)dx = 0.

Montrer que : lim n→+∞

∫1

1 n

f (x)dx = L.

3. a. Montrer que,

quel que soit x ∈ [0 ; 1], ∫x

0

t n−1

1+ t dt 6

x

0 t n−1 dt .

En déduire que, quel que soit x ∈ [0 ; 1], ∫x

0

t n−1

1+ t 6

1

n .

En utilisant la relation I de la première question montrer que :

quel que soit x ∈]0 ; 1], − 1

nx 6 f (x)−

Pn−1(x)

x 6

1

nx .

Par intégration sur le segment [ 1

n ; 1

]

, établir la relation :

∫1

1 n

f (x)dx + 1

n ln

1

n +Sn

(

1

n

)

6 Sn(1)6 ∫1

1 n

f (x)dx − 1

n ln

1

n +Sn

(

1

n

)

en posant

Sn(x)= x x2

22 +

x3

32 +·· ·+ (−1)n−2

xn−1

(n−1)2 , (n ≥ 2).

b. Démontrer que, quels que soient p ∈N⋆ et x ∈ [0 ; 1] :

xp

p2 >

xp+1

(p +1)2 .

En utilisant des égalités de la forme :

S2(x)= x ; S3(x)=

(

x x2

22

)

; S4(x)=

(

x x2

22

)

+ x3

32 ; . . .

montrer que, quels que soient n > 2 et x ∈ [0 ; 1] : 06 Sn (x).

Aix–Marseille 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

En utilisant des égalités de la forme :

xS3(x)= x2

22 ;xS4(x)=

(

x2

22 −

x3

32

)

; xS5(x)=

(

x2

22 −

x3

32

)

+ x4

42 ; . . .

montrer que, quels que soient n > 2 et x ∈ [0 ; 1] : Sn(x)6 x ; et en défi- nitive que 06 Sn(x)6 x.

Déterminer lim n→+∞

Sn

(

1

n

)

.

c. Déduire des résultats 3. a. et 3. b. précédents que :

lim n→+∞

Sn(1)= ∫1

0 f (x)dx = L.

4. En regroupant convenablement les termes de la somme :

Sn(1)= 1− 1

22 +

1

33 +·· ·+ (−1)n−2

1

(n−1)2 ,

et en raisonnant comme au 3. b. montrer que,

quel que soit n > 5,

1− 1

22 +

1

32 −

1

42 6 Sn(1)6 1−

1

22 +

1

32 .

On admettra alors le théorème suivant :

Théorème : Soit une suite convergente (un ). S’il existe deux réels a et b, (a 6 b) et un entier naturel n0 tel que,

quel que soit n > n0, a 6 un 6 b, alors a 6 lim n→+∞

un 6 b.

En déduire un encadrement de ∫1

0 f (x)dx.

Aix–Marseille 3 juin 1977

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