Exercices de mathématique appliquée 5, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique appliquée 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les opérations, l’application de f.
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[ Baccalauréat C Besançon 1 septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Trouver deux constantes a et b telles que l’on ait :

k ∈Z 9k +4 = a(2k −1)+k +8 et 2k −1 = b(k +8)−17.

2. En déduire que :

a. Si k = 9(mod17) alors pgcd(9k +4, 2k −1)= 17,

b. Si k 6= 9(mod17) alors pgcd(9k +4, 2k1)= 1.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. x étant un réel supérieur à e2, calculer

x

1

1

t dt ,

x

e

1

tLog t dt ,

x

e2

1

tLog tLog(Log t) dt .

Étudier leur comportement quand x tend vers +∞.

2. (t étant un réel strictement positif, et x un réel supérieur à e, on pose :

(x)= ∫x

1

1

dt , (x)=

x

e

1

t(Log t)α dt .

Pour quelles valeurs de α, (x) admet-il une limite finie quand x tend vers +∞ ?

Qu’en est-il alors de (x) ?

PROBLÈME 12 POINTS

E désigne un espace vectoriel réel de dimension trois, et L (E) l’ensemble des appli- cations linéaires de E dans E. On rappelle que L (E), muni des deux opérations : addition et multiplication par un réel, est un espace vectoriel réel (l’application nulle est notée 0), On peut aussi munir L (E) de la composition (au sens des applications) : on posera

f 2 = f f .

I désigne l’application identique de E. Soient a et c deux réels, a 6= 0, et P l’application de f (E) dans f (E) :

f 7−→P ( f )= f 2+a f +cI.

Partie A

1. P est-elle une application linéaire ?

2. Montrer que si le trinôme x2+ax+c a une racine réelle, alors il existe aumoins une application f de L (E) telle que P ( f )= 0.

3. Soit f un élément de L (E) tel que P ( f )= 0.

Montrer que si c 6= 0, f est bijective et déterminer alors son inverse.

Peut-on avoir c = 0 et f bijective ?

1. Dijon - Nancy - Reims - Strasbourg

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

Partie B

Dans cette partie on suppose c = 0 ; ker f et Im f désignent respectivement le noyau de f et l’image de E par f . Soit f ∈L (E) telle que P ( f )= 0.

1. En écrivant tout vecteur x de E sous la forme x = x′+ x′′ avec x′ = x + 1

a f (x),

vérifier que x′ ∈ ker f et x′′ ∈ Im f .

Montrer que E est somme directe de ker f et Im f .

2. Montrer que ker f = ker f 2 et Im f = Im f 2.

3. Montrer que Im f est stable par f et préciser la restriction de f à Im f .

4. Calculer f n en fonction de f ( f n = f f n−1 par définition).

Partie C

Soit f un élément de L (E) tel que P ( f )= 0.

1. Montrer que si f est involutif, alors |a| = |c +1|.

2. On se propose de vérifier, par un contre-exemple, que cette condition n’est pas suffisante pour que f soit involutif.

E étant le plan vectoriel, soit f un endomorphisme de E différent de l’identité tel que f 2−2 f + I= 0. Montrer qu’il existe un vecteur x de E tel que f (x) 6= x, et vérifier que (x ; f (x)) est un système libre.

En posant u = f (x)− x, montrer que (u ; x) est une base de E et expliciter la matrice de f dans cette base.

Que peut-on conclure ?

N. B. les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendantes

Besançon - Dijon - Nancy - Reims - Strasbourg2 septembre 1977

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