Exercices de mathématique appliquée 6, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique appliquée 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le triangle équilatéral, l’ensemble des applications linéaires.
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[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

n étant un entier relatif quelconque, on pose :

A =n−1 et B =n2−3n+6

1. a. Montrer que le p.g.c.d. de A et B est égal au p.g.c.d. de A et 4.

b. Déterminer, suivant les valeurs de n, le p.g.c.d. de A et B .

2. Pour quelles valeurs de l’entier relatif n, le nombre n2−3n+6

n−1 est-il un entier

relatif ?

EXERCICE 2 3 POINTS

Dans E, plan affine euclidien, A, B et C sont les sommets d’un triangle équilatéral,

tels que ∥

−−→ AB

∥=

−−→ AC

∥=

−−→ BC

∥= d , où d est un réel positif non nul.

1. Déterminer l’ensemble des réels a tels que les points A, B, C affectés respecti- vement des coefficients a, 1, 1, admettent un barycentreGa .

Quel est l’ensemble des points Ga ainsi obtenus ?

2. On prend a = 1.

Déterminer le pointG1 correspondant.

On pose f1(M)=MA2+MB2+MC2. Déterminer l’ensemble des pointsM tels que f1(M)= 2d2.

3. On prend a =−2.

Montrer que le vecteur −→ V (M) = −2

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC est un vecteur indépen-

dant deM qu’on précisera.

Déterminer l’ensemble des points M tels que f2(M) = −2MA2+MB2 +MC2

soit égal à 0.

PROBLÈME 13 POINTS

Partie A

Soit P un plan vectoriel muni d’une base (

−→ ı ,

−→

)

. Pour tout couple (a ; b) de réels,

on définit une application linéaire deP dans P , notée ϕa, b dont la matrice dans la

base (

−→ ı ,

−→

)

est :

(

ab b

0 a+b

)

OndésigneparA l’ensemble des applications linéairesϕa, b lorsque a etb décrivent R.

1. a. Quelle est la nature de ϕ1, 0 ?

b. Montrer que ϕ1, 0 est une symétrie vectorielle dont on précisera les élé- ments caractéristiques.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

c. Montrer queA est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des ap- plications linéaires deP dansP et vérifier que

(

ϕ1, 0 ; ϕ0, 1 )

est une base de A . Quelles sont les coordonnées de ϕa, b dans cette base ?

Pour faire, de l’ensemble E des applications linéaires de P dans P , un espace vectoriel sur R, on définit les opérations + et . comme suit :

• si f et g sont dans E , f + g est défini par :

( f + g ) (

−→ x

)

= f (

−→ x

)

+ g (

−→ x

)

.

• si f est dans E , et λ dans R, λ · f est défini par :

(λ · f ) (

−→ x

)

= f (

λ −→ x

)

.

2. Onmunit A de la loi d’addition des applications linéaires deP dansP notée + et de la loi de composition des applications linéaires de P dans P notée ◦.

Montrer que (A ,+, ◦) est un anneau commutatif, unitaire. Déterminer les élé- ments inversibles de cet anneau.

Partie B

Soit (P) unplan affined’espace vectoriel associé àP . Onmunit (P) du repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Pour tout réel b non nul, on note fb l’application affine de (P) dans (P) qui au point m de coordonnées (x ; y) associe le point M de coordonnées (X ; Y ) défini par

{

X = −bx+by +1 Y = by

1. Vérifier que l’application linéaire associée à fb appartient à l’ensemble A dé- fini à la partie A.

2. Déterminer, suivant les valeurs de b, l’ensemble des points invariants par fb .

3. a. On suppose : b = 1. Montrer que f1 est la symétrie par rapport à la droite d’équation y = 2x−1 parallèlement à l’axe x′Ox.

b. On suppose : b =−1.Montrer que f1 est la composée commutative d’une symétrie par rapport à une droite contenant O et d’une translation.

c. On suppose : b 6= 1 et b 6= −1. Montrer que f b est la composée commu- tative d’une homothétie et d’une symétrie par rapport à une droite.

Partie C

Onsupposemaintenant que (P) est unplan affine euclidien et que le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

est

orthonormé. On considère le mouvement d’un pointm de (P) dont les coordonnées sont données par :

{

x = −2t +2et +1 y = −2t +4et +1

, t réel quelconque. (t est la date)

On note (γ) la trajectoire du pointm lorsque t décrit R.

1. Montrer que (γ) admet en chacun de ses points une tangente et montrer qu’il existe un unique point A de (γ), que l’on déterminera, tel que la tangente en A à (γ) soit parallèle à l’axe y ′Oy .

2. SoitM le transformé dupointm par la symétrie f1 définie à la partie B. Quelles sont, en fonction de t , les coordonnées (X ; Y ) du point M ?

Calculer Y en fonction de X .

Bordeaux 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

3. Soit la fonction numérique F définie par

F (X )= 2Log

(

2

X −1

)

+2X −1

(X étant une variable réelle qui parcourt l’ensemble de définition de F que l’on précisera).

Étudier cette fonction F et tracer sa représentation graphique (Γ) relativement

au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Pour étudier le comportement de F (X ) pour X → +∞,

on recherchera les limites, pour X →+∞, de F (X )

X et de F (X )−2X .

Déterminer les coordonnées dupoint d’intersectionde (Γ) et de la droite d’équa-

tion Y = 2X −1 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

4. Déduire des questions précédentes le tracé de la trajectoire (γ) du pointm.

Bordeaux 3 juin 1977

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