Exercices de mathématique appliquée 7, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique appliquée 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les tables d’addition et de multiplication, l’espérance mathématique, les éléments de C.
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[ Baccalauréat C Bordeaux septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère le corps Z/5Z= {0̇, 1̇, 2̇, 3̇, 4̇}.

1. Dresser les tables d’addition et de multiplication,

2. Résoudre dans Z/5Z l’équation 2̇+ x = 1̇, en l’inconnue x.

3. Résoudre dans Z/5Z l’équation 3̇x = 2̇, en l’inconnue x.

4. Résoudre dans (Z/5Z)2 le système

{

2̇x + 3̇y = 2̇ 1̇x + 2̇y = 4̇

en les inconnues x et y

5. Résoudre dans Z/5Z l’équation, en l’inconnue x, x2+ 2̇x − 3̇= 0̇.

EXERCICE 2 4 POINTS

Un sac contient cinq jetons numérotés 1, 1, 2, 2, 3. On extrait simultanément deux jetons et on désigne par X la somme des nombres inscrits sur les deux jetons. Tous les tirages sont équiprobables.

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?

2. Représenter graphiquement la fonction de répartition de la variable aléatoire X.

3. Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart type de la variable aléatoire X.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

l’ensemble C des nombres complexes est considéré comme un espace vectoriel eu- clidien sur R. Soit B = (1, i) la base constituée des nombres complexes 1 et i. On dira que le nombre complexe z = x+ iy est le vecteur de coordonnées (x ; y) dans la base B. Si (x ; y) et

(

x′ ; y ′ )

sont deux vecteurs de cet espace vectoriel, leur produit scalaire sera xx′+ y y ′. Soit a un réel donné et fa l’application linéaire de C vers C dematrice

m =

(

2a −1 1 0

)

dans la base B.

On pose f (z)= Z = X + iY avec z = z + iy (x, y, X , Y réels).

1. a. Quelles sont les coordonnées de Z dans la base B ?

b. Exprimer Z en fonction de x et y puis en fonction de z et z z = x − iy désigne le nombre complexe conjugué de z = x + iy .

c. Quels sont les éléments de C invariants par fa ? Vérifier que l’ensemble de ces éléments est dans tous les cas un sous-espace de C.

d. Pour quelle valeur du réel a, fa est-il une rotation vectorielle ?

2. a. Montrer que, quel que soit a ∈R, fa est une bijection de C sur C.

Soit f −1a l’application réciproquede fa . Onpose f −1

a (z)= X ′ +iY ′ (X ′,Y

réels).

b. Déterminer dans la base B, la matrice de f −1a .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

c. Soit z = x+ iy un élément de C. Exprimer Z ′ = f −1a (z) en fonction de x et y puis en fonction de z et z. Déterminer une relation entre Z , Z ′ et z. En déduire que fa + f −1a = 2a1C où 1C est l’application identique dans C.

d. Si a 6= 0, déterminer le noyau et l’image de fa f0.

Partie B

Soit P un plan affine euclidien associé au plan vectoriel C et rapporté à un repère orthonormé d’origine O et de base B. On désigne par ϕa l’application affine de P dans P qui au point O associe le point A(1 ; a), a ∈ R et dont l’application linéaire associée est fa . L’image par ϕa d’un point M est alors le point M ′ =ϕa(M).

1. a. Déterminer les coordonnés x′ et y ′ du point M ′ en fonction des coor- données x et y du point M .

b. Démontrer que si a 6= 1 alors l’application affine ϕa admet un point in- variant unique Ω dont on déterminera les coordonnées.

Si a = 1, quel est l’ensemble des points invariants ?

c. Établir que ϕa est la composée d’une application affine de point inva- riant O et d’une translation,

d. Quelle est l’image parϕa de la droite affine d’équation x = 0 ? de la droite affine d’équation y = 2ax ?

2. On suppose que a 6= 0. Montrer que ϕ0 est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle. Quelle est l’image par ϕ0 du cercle de centre O et de rayon 1 ?

Quelles sont les images par ϕ0 des bissectrices des axes du repère.

3. On suppose a = 1.

a. Exprimer y ′− x′ en fonction de y x. En déduire qu’il existe une famille de droites de même direction globalement invariantes par ϕ1.

b. On considère la fonction numérique f : R→R définie par

x 7−→ f (x)= x2+ x +1

x +1 .

Étudier la fonction f . Construire sa courbe représentative (C) dans le re- père (O, B).

Déterminer une équation de la courbe (C′) transformée de (C) par ϕ1.

Vérifier que cette équation peut s’écrire sous la forme x = y − 1

y .

Construire (C′) sur la même figure que (C), (On pourra au préalable étu-

dier et représenter la fonction g : x 7−→ y = x − 1

x . On déduira la courbe

(C′) de la courbe représentative de la fonction g ).

4. a. On suppose a 6= 0. Soit T1 l’application affine de P dans P qui au point O associe le point A(1 ; a) et dont l’application linéaire associée est

u = fa + f −1

a .

Démontrer que T1 est une homothétie ou une translation,

b. On suppose encore a 6= 0. Soit T2 l’application affine de P dans P, qui au point O associe le point A(1 ; a) et qui admet v = fa f0 pour application linéaire associée.

Démontrer que T2 est la composée d’une homothétie, d’une projection sur une droite et d’une translation.

Bordeaux 2 septembre 1977

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