Exercices de mathématique appliquée 8, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique appliquée 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 210, l’ensemble C des nombres complexes, l’addition et de lamultiplication par un réel.
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[ Baccalauréat C Caen juin 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 210.

2. Si x et y sont deux entiers naturels non nuls, ∆ leur plus grand diviseur com- mun, µ leur plus petit multiple commun, déterminer l’ensemble des couples (x ; y) tels que :

{

µ = 210 . ∆ y x = ∆.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation :

4z3−6i p 3z2−3(3+ i

p 3)z −4= 0.

1. Démontrer que cette équation admet une racine réelle. En déduire les solu- tions, dont on donnera la forme trigonométrique.

2. Démontrer que ces racines sont les éléments d’une suite géométrique dont on donnera la raison complexe.

PROBLÈME 12 POINTS

On rappelle que l’ensemble F des fonctions numériques définies sur R, muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R.

Partie A

1. Soit D l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur R. Montrer que D est un sous-espace vectoriel de F .

2. a. Soit f appartenant à D. On pose :

h : R → R x 7−→ h(x)= f (x).e−x

Montrer que h appartient à D et que si f ′ = f , alors h est une application constante.

En déduire l’ensemble F1 des fonctions f de D telles que f ′ = f . b. De même, en posant k(x) = f (x)ex ,déterminer l’ensemble F2 des fonc-

tions f de D telles que f ′ =− f .

Partie B

1. Soit F le sous-espace vectoriel de D engendré par f1 et f2 telles que :

f1 : x 7−→ cosx et f2 : x 7−→ sinx.

Démontrer que f1 et f2 forment une base de F et que leurs fonctions dérivées f ′1 et f

′ 2 appartiennent à F .

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

2. Plus généralement, on désigne par g1 et g2 deux éléments de D linéairement indépendants tels que le plan vectoriel G de base

(

g1, g2 )

contienne g ′1 et g

fonctions dérivées de g1 et g2 respectivement.

Démontrer que, pour toute fonction f de G, f ′ est élément de G et que l’ap- plication Φ de G dans G définie parΦ( f )= f ′ est un endomorphisme de G. Déterminer sonnoyau.Démontrer que cette application est bijective si et seule- ment si G ne contient pas la fonction constante f0 définie sur R, par f0(x)= 1.

3. Soit ϕ l’endomorphisme de G ayant pour matrice dans la base (

g1, g2 )

:

M =

1

3

2

3 4

3 − 1

3

Démontrer que ϕ est involutif. En déduire une nouvelle base B de G laquelle

la matrice de ϕ est

(

1 0 0 −1

)

.

Partie C

1. Déduire des questions précédentes que l’on peut choisir les fonctions g1 et g2 de façon que ϕ=Φ (on utilisera la base B).

2. Si l’on suppose, de plus, que g1(0)= g2(0)= 1, montrer que l’on obtient :

x ∈R, g1(x)= 4ex −e−x

3 et g2(x)=

2ex +e−x

3 .

Dans les questions suivantes, g1 et g2 sont les fonctions ainsi définies.

3. Étudier les variations des fonctions g1 et g2. Tracer, dans un plan rapporté à un repère orthonormé, leurs courbes représentatives (C1) et (C2).

4. Calculer l’aireA (α) de la partie du plan limitée par les courbes (C1), (C2) et les droites d’équation x = 0 et x =α (α∈R⋆).

5. Montrer, à l’aide de l’application ϕ, que toute fonction f appartenant àG telle que f = ag1+bg2 admet une primitive θ et une seule dans G. Donner les coordonnées de θ dans la base

(

g1, g2 )

.

Caen 2 juin 1977

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