Exercices de mathématique appliquée 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique appliquée 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’espace affine euclidien E, l’équation.
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[ Baccalauréat C Caen septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

L’espace affine euclidien E est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

1. Soit M un point de E de coordonnées (x ; y ; z).

Déterminer les coordonnées (

x′ ; y ′ ; z ′ )

du point M ′, image de M dans la sy- métrie orthogonale s par rapport au plan P dont une équation est :

2x+3y z−5 = 0. 2. Soit f l’application affine de E dans E qui au point M associe le point M ′′ de

coordonnées (

x′′ ; y ′′ ; z ′′ )

tel que :

x′′ = 3x−6y +2z+17

7 x′′ =

−6x−2y +3z+29 7

x′′ = 2x+3y +6z+5

7

Démontrer que f est un antidéplacement de E, qui n’a pas de point invariant et que l’on peut décomposer f en le produit commutatif de l’application s par une applicatiun g que l’on déterminera.

EXERCICE 2 4 POINTS

Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation

z3+ (3+2i)z2+ (3− i)z+2(1−5i)= 0

après avoir montré qu’elle admet une solution réelle.

PROBLÈME 12 POINTS

1. Soit la fonction numérique f définie par

f (x)= Log (

x+ √

x2+1 )

a. Donner l’ensemble D de définition de f .

Démontrer que : ∀x ∈D, f (x)+ f (−x)= 0,. Démontrer que f est dérivable sur D et définir la fonction dérivée.

Étudier les variations de f .

b. Tracer la courbe représentativeC de f dans un plan euclidien P, rapporté

à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Étudier les branches infinies, Préciser les positions relatives de C et de sa tangente en 0. (On pourra étudier le sens de variation de la fonction ϕ :

ϕ :

D → R x 7−→ Log

(

x+ p x2+1

)

x

2. a. Démontrer que f est intégrable sur [0 ; a] où a ∈R+.

Calculer I (a)= ∫a

0 Log

(

x+ √

x2+1 )

dx.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

b. Soit un l’aire de la portion de plan ensemble des points M de coordon- nées (x ; y) telles que :

n ∈N {

0 6 x 6 n 0 6 y 6 f (x)

i. Démontrer que un =nLog (

n+ p n2+1

)

− p n2+1−1.

ii. On considère la suite numérique (un )n∈N. Étudier son sens de varia- tion. Cette suite est-elle convergente ?

3. a. Démontrer, sans calcul, que f admet une application réciproque notée g . Donner son ensemble de définition, montrer qu’elle y est dérivable et tracer sa courbe représentative

(

C ′) dans le plan P.

b. Calculer g (x) et g ′(x).

c. Dans toute la suite du problème, on pose g ′ = h. Calculer h′(x). Montrer que : ∀x R, h2(x)− g 2(x)= 1.

d. Soit (

O′, −→ ı ,

−→

)

un nouveau repère orthonormé de P.

Soit H l’ensemble des points M de coordonnées (X ; Y ) où

X = 3h(x), Y = 2g (x) et x décrit R. Construire H .

Caen 2 septembre 1977

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