Exercices de mathématique de l'ingégnieur , Exercices de Logique mathématique
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices de mathématique de l'ingégnieur , Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématique de l'ingénieur sur une épreuve de mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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Année 2012-2013 1ère session NOM DU MODULE : MATHÉMATIQUE INGÉNIEUR

CODE DU MODULE : MA116 NOM DU RESPONSABLE : TESSON PATRICE

Filière : Télécommunication, Année : 1ère., Semestre : S1 Date de l’examen : 22 janvier 2013. Durée de l’examen : 1h30

Solutions

Problème 1. I) On considère le signal g , définie par ( T R+* ) :

g(t) = 2T( t + T 2) pour t [-T/2 , 0[ g(t) = -

2 T( t -

T 2) pour t [0 , T/2[ g(t) = 0 ailleurs

I.1) Esquisser son graphe.

g(t) 1

T/2 -T/2

I.2) Calculer explicitement Ĝ(), si elle existe, la transformée de Fourier de g(t). Le signal est clairement sommable, sa transformée de Fourier existe (CS). On note qu'il est réel pair

Ĝ() = 2 cos(2t) (1 – 2t/T) dt = (IPP)…= 2  2/

0

T 4(1 - cos(T)) T(2)2 = …= T/2 sinc

2(T/2) (réel pair)

I.3) Calculer son énergie E.

E = |  



Ĝ() |2 d | g(t) |2 dt = … = T/3  



II) On définit le signal t f(t) = g(t - n T)  n

II.1) Esquisser son graphe.

f(t)

1

T/2 -T/2

II.2) On considère sa série de Fourier en exponentielles complexes : SF{f(t)} = cn exp(i n t)  



Rappeler la définition du coefficient cn

En considérant l'intervalle d'intégration (-T/2, T/2), montrer que cn = 1 T Ĝ (

n T ).

cn = 1/T exp(-i n  

2/

2/

T

T

2 T t ) f(t) = 1/T exp(-i n 

2/

2/

T

T

2 T t ) g(t) = 1/T exp(-i 2 





n T t ) g(t) =

1 T Ĝ (

n T )

II.3) Calculer le développement en série de Fourier en exponentielles complexes de f(t)

p. 1/3

cn = 1 T Ĝ (

n T ) = 1/2 sinc

2(n/2)

on a en particulier: c0 = 1/2 = < f >T la valeur moyenne cn = 0 pour n = 2k pairs k  Z*

cn = 2

2 (2k+1)2 pour n = 2k+1 impairs k  Z

SF{ f(t) } = 1/2 +  Zk

2 2 (2k+1)2 exp( i(2k+1)

2 T t)

II.4) Calculer le développement en série de Fourier classique de f(t) a0/2 = < f >T = 1/2

an = cn + cn* = 2 cn = 4

2 (2k+1)2 pour n = 2k+1 impairs k  Z

an = 0 pour n = 2k pairs k  Z* bn = i(cn – cn*) = 0 cohérent avec le fait que f est pair.

SF{ f(t) } = 1/2 +  

1k

2 2 (2k+1)2 cos((2k+1)

2 T t)

II.5) Calculer la valeur moyenne Fmoy et la valeur efficace Feff de f(t) < f >T = 1/2

(Feff )2 = 1/T | f(t) |2 dt = 1/T | g(t) |2 dt = 1/T | g(t) |2 dt = E/T = 1/3 d'où Feff =  

2/

2/

T

T  

2/

2/

T

T  



1 3

III) On refait les calculs avec les distributions III.1) Dériver g(t) deux fois au sens des distributions. Calculer la transformée de Fourier de g"(t) au sens

des distribution et en déduire l'expression Ĝ () g"(t) = 2/T ( (t + T/2) – 2.(t) + (t - T/2) )

d'où la par TF : (i2)2 Ĝ() = 2/T ( exp(i 2T/2) 2 + exp(-i 2T/2) ) = 2/T (2i sin(T/2)2

On déduit …..Ĝ() = T/2 sinc2(T/2) III.2) Montrer que f(t) peut s'exprimer en terme de convolution avec un peigne de Dirac, puis montrer que

F̂ () sa transformée de Fourier au sens des distributions s'écrit : 1T  n

Ĝ ( nT ) ( – n T)

Rappelons que : g(t-nT) = ( t  nT *g(t) d'où f(t) = ( ШT *g)(t)

F̂ () = Ĝ() . TF{ ШT (t) } = Ĝ() . 1 T Ш1/T() =

1 T 

n Ĝ (

n T ) ( –

n T)

III.3) Calculer la transformée de Fourier au sens des distributions de cn exp(i n t)  



et déduire que cn = 1 T Ĝ (

n T )

TF{ cn exp(i n  



2 T t) } =  cn TF{ exp(i n





2 T t) } = cn ( - 





n T )

Au sens des distributions f(t) =  cn exp(i n 



2 T t) d'où TF{ f(t) } = F̂ () =  cn ( -





n T )

Par identification avec le résultat de III.2) on a cn = 1 T Ĝ (

n T )

p. 2/3

Problème 2.

Calculer l'intégrale suivante : J() = 1 1

0 1 - t

dt en terme de fonction Beta

Préciser la condition sur pour qu'elle converge. Application : Calculer la valeur numérique de J(2) et J(1/2)

On pose u = t c'est à dire t = u1/ d'où dt = du 1  u

1/0

Pour t = 0  u = 0 pour  > 0 Pour t = 1  u = 1

Finalement J() = 1

 1

0 1 - u

1  u

1/du = 1  (1-u)

-1/2 u1/du  1

0

Par identification avec la définition de Beta J() = 1  B(-1/2 +1;

1 ) =

1  B(1/2;

1 ) =

1 

 (1/) (1/ + 1/2))

Beta définie convergente pour des arguments>0 J() CV pour  > 0.

Valeurs particulière : J(2) =  2 J(1/2) =

8 3

Problème 3. Soient m R et R*+ des paramètres et la fonction :

x fm(x) = 1

2 exp( - (x - m)

2

2  )

1) Déterminer, si elle existe, sa transformée de Fourier : F̂m () = Fm () = F { fm (t) } fmest sommable donc sa transformée de Fourier existe !

A partir du dictionnaire du cours on a :TF {exp( - a x2) } =  a exp( -

2 2 a )

D'après la propriété du décalage sur x : TF {exp( - a (x-m)2) } = exp( - i 2  m )  a exp( -

2 2 a )

En identifiant la paramètre a = 1

2  soit  a =  2 et avec la linéarité il vient

F̂m () = 1

 2 exp( - i 2  m ) 22. exp( - 2 2 22 ) =  exp( - i 2  m ) exp( - 2 2 22 )

F()= exp( - i  m ) exp( - 2 

2 )

2) En déduire que : fm1fm2fm3 Expliciter les expressions de : K ; m3 et 3 D'après la propriété de la transformée de Fourier d'un produit de convolution

TF { fm1fm2} = TF { fm1} . TF { fm2}

TF { fm1fm2}() = exp( - i 2  m1 ) exp( - 2 2 22 ) exp( - i 2  m2 ) exp( - 2 2 22 )

TF { fm1fm2}() = exp( - i 2  ( m1 + m2) ) exp( - 2 2 2(2 + 2) )

Soit TF { fm1fm2}() = exp( - i 2  m3 ) exp( - 2 2 22 )

On a donc : K = 1 m3 = m1 + m2 et 2 = 2 + 2 c'est-à-dire 3 = 12+ 22

p. 3/3

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