Exercices de mathématiques, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 6, La loi bêta de paramètres a, b > 0 a pour densité sur la droite, Propriétés de la fonction quantilé.
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cor3p2003

Exercice 4.3 : Le directeur d’école et le coût du chauffage (I)

Le directeur de l’école du village doit prévoir le budget du chauffage de ses bâtiments pour le premier trimestre de l’année scolaire. Les statistiques qu’il a tenues depuis de nombreuses années lui fournissent les probabilités suivantes. En septembre, il dispose de 15 chances sur 100 de ne rien consommer (c’est l’été indien), autrement la consommation s’élève à 500 litres de mazout. En octobre, si l’été indien s’est produit en septembre (donc si la consommation a été nulle en septembre), la consommation s’élèvera à 200 litres ; par contre, la probabilité d’une consommation de 500 litres est de 55 %, 750 litres dans les autres cas. En novembre, le complexe scolaire consomme 600 litres dans 60% des cas et 800 litres autrement. En décembre, la consommation s’établit toujours à 750 litres. Soit X, une variable aléatoire discrète qui représente la consommation de mazout en litres au cours du 1er trimestre. Déterminez la distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition. Solution :

Pour déterminer l’espace d’échantillonnage de cette épreuve et les valeurs de X

qui y sont associées, un diagramme en arbre est utile dont les étapes

représenteront successivement chaque mois du 1er trimestre et les nœuds, les

consommations mensuelles prévues.

IX X XI XII

500

500

750

600

600

800

800

750

750

750

750

0 200

600

800 750

750 1550

1750

2350

2550

2600

2800

X (l.) P(X)

1

0,85

1

1

1

1

1

1

0,15

0,45

0,55

0,4

0,4

0,6

0,6

0,09 0,6

0,4 0,06

0,2805

0,2295

0,187

0,153

Mois du 1er trimestre

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La distribution d’échantillonnage de X est donnée à droite de l’arbre, P(X) étant

calculée comme la probabilité jointe de la réalisation des consommations

mensuelles sur la branche de l’arbre générant X.

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X (l.) 1550 1750 2350 2550 2600 2800

P(X) 0,09 0,06 0,2805 0,187 0,2295 0,153

F(X) 0,09 0,15 0,4305 0,6175 0,847 1

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Exercice 4.4. : Le choix de Jacqueline (I)

Jacqueline termine sa dernière année d’études secondaires avec succès. Elle hésite entre des études en sciences économiques et des études en informatique. En fait, elle a décidé, si elle en est capable, d’obtenir les deux diplômes. Soit, elle commencera par les études universitaires en sciences économiques, puis si elle les réussit, poursuivra par des études complémentaires en informatique ; soit elle commencera par les études universitaires en informatique, puis si elle les réussit, poursuivra par des études complémentaires en économie. Elle estime la probabilité de réussite des études (complémentaires ou non) en économie à pe et la probabilité de réussite des études (complémentaires ou non) en informatique à pi. Si elle ne réussit pas les premières études qu’elle entreprend, elle s’inscrira à un graduat. Si elle réussit le graduat, elle entreprendra des études complémentaires en économie. La probabilité de réussir le graduat et d’être acceptée dans le programmes d’études complémentaires en économie est de pg. Ce qui l’intéresse, c’est son revenu à 35 ans. Ses relevés statistiques ont montré que le revenu moyen à 35 ans de quelqu’un qui : - dispose de deux diplômes universitaires est de 1000 ; - dispose du diplôme en informatique uniquement est de 800 ; - dispose du diplôme en économie uniquement est de 840 ; - dispose du diplôme de gradué uniquement est de 600 ; - dispose du diplôme de gradué et d’un diplôme universitaire complémentaire

est de 600 + (¼ du revenu de celui qui dispose du diplôme universitaire unique correspondant) ;

- ne dispose pas de diplôme supérieur est de 350. On vous demande : la distribution de probabilité et la fonction de répartition du revenu à 35 ans, si elle commence par des études en informatique ; (N.B. pour la fonction de répartition, vous supposez que pi = 0,35 : pe=0,42 ; pg=0,7). Solution :

Pour déterminer l’espace d’échantillonnage de cette épreuve et les valeurs de X

qui y sont associées, un diagramme en arbre est utile dont les étapes

représenteront successivement les études suivies et les nœuds, le résultat obtenu

(réussite ou échec). Le revenu à 35 ans et sa probabilité seront calculés en fin de

branche. La probabilité d’un niveau donné de revenu est une probabilité jointe.

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Les notations suivantes sont utilisées pour les événements : I, E, G, EC

signifient : « Jacqueline a réussi ses études en (respectivement) informatique,

économie, graduat, économie (complémentaire). ».

Ces mêmes notations précédées de ~ signifient l’échec dans ces mêmes études.

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X 350 600 800 810 1000

P(X) 0,195 0,2639 0,203 0,1911 0,147 F(X) 0,195 0,4589 0,6619 0,853 1

~I

I

~E

E

~G

G

~EC

EC

0,35

0,65

0,42

0,58

0,7

0,3

0,42

0,58

0,147 1000

0,203 800

600 + (0,25.840) 0,1911

0,2639 600

0,195 350

P(X) X

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Exercice 5.3. : Le directeur d’école et le coût du chauffage (II)

Quelle est l’espérance mathématique de X, le nombre de litres de mazout consommés par le système de chauffage durant le 1er trimestre ?

Solution :

La distribution de probabilité de X, le nombre de litres de mazout consommés par le système de chauffage durant le 1er trimestre, avait été établie précédemment :

X (l.) 1550 1750 2350 2550 2600 2800

P(X) 0,09 0,06 0,2805 0,187 0,2295 0,153 F(X) 0,09 0,15 0,4305 0,6175 0,847 1

Donc E(X) = (1550.0,09) + (1750.0,06) + (2350.0,2805) + (2550.0,187) +

(2600.0,2295) + (2800.0.153)

= 139,5 + 105 + 659,175 + 476,85 + 596,7 + 428,4

= 2400,625 litres.

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Exercice 5.4. : Le choix de Jacqueline (II)

On vous demande de calculer l’espérance mathématique du revenu de Jacqueline à 35 ans, si elle commence par des études en informatique ; (N.B. pour la fonction de répartition, vous supposez que pi = 0,35 : pe=0,42 ; pg=0,7).

Solution :

La distribution de probabilité de X, le revenu de Jacqueline à 35 ans, avait été établie précédemment :

X 350 600 800 810 1000

P(X) 0,195 0,2639 0,203 0,1911 0,147 F(X) 0,195 0,4589 0,6619 0,853 1

Donc E(X) = (350.0,195) + (600.0,2639) + (800.0,203) + (810.0,1911) + (1000.0,147)

= 68,25 + 158,34 + 162,4 + 154,791 + 147 = 690,781.

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Exercice 5.7. : La boutique LENACH La boutique de haute couture LENACH doit commander la semaine prochaine son stock de manteaux d’hiver au grand couturier Kiamé. Vu la coupe d’avant- garde des ces manteaux, leur demande est réduite et on ne peut les vendre avec profit que durant la saison pour laquelle ils ont été dessinés et réalisés.

Kiamé ne fournit qu’une commande par saison à la boutique LENACH.

Chaque manteau est acheté 75.000 Mons et revendu 100.000 Mons durant la saison. S’il n’est pas vendu, il est écoulé à 40.000 Mons dans un magasin de « dégriffés ». Si une cliente ne peut être satisfaite, cette situation n’engendre aucun frais à LENACH.

La demande pour ce type de manteaux est relativement stable et on a pu établir, en se basant sur les statistiques des saisons précédentes, une estimation de la distribution de probabilité de X, le nombre de manteaux demandés : Combien de manteaux commander à Kiamé ?

Solution :

On sait que l’espérance de profit est maximum si )(

)( 0 pb

b iP

S

i + <∑

= [1].

Avec b : le bénéfice net par unité vendue : 100 000 – 75000 = 25000 Mons.

Et p : la perte nette par invendu : 75000 – 40 000 = 35 000 Mons.

= +

= + 3500025000

25000

pb

b 0,41.

Fonction de répartition de X :

X -de 4 4 5 6 7 8 9 10 11 + de 12 F(X) 0 0,05 0,15 0,3 0,45 0,65 0,85 0,95 1 1

Le dernier stock qui vérifie l’inégalité [1] est de 6 unités. On doit donc commander 6 + 1 = 7 manteaux à Kiame.

Distribution de probabilité de X : le nombre de manteaux demandés

X - de 4 4 5 6 7 8 9 10 11 + de 12

P(X) 0 0,05 0,1 0,15 0,15 0,20 0,20 0,1 0,05 0

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Ex. rec. (1). 4 : Test de médicament.

Un laboratoire a mis au point un test pour dépister une certaine maladie.

Des essais cliniques prouvent que : a) 96 fois sur 100, le test donne un résultat positif quand la maladie est

effectivement présente. b) 94 fois sur 100, le test donne un résultat négatif quand la maladie n'est pas

présente. Dans une population comptant 3 % de malades, on pratique le test sur une personne choisie au hasard et on constate un résultat positif.

Quelle est la probabilité que la personne soit atteinte de la maladie ?

Solution :

Soit M : « Etre malade. » et Pos : « Le résultat du test est positif. ». On sait que P(Pos/M) = 0,96 ; P( Pos / M ) = 0,94 ; P(M) = 0,03 et P( )M = 0,97. On cherche P(M/Pos). Deux approches de la solution sont proposées.

1. Par la formule de Bayes :

331,0 0587,00288,0

0288,0

)97,0.06,0()03,0.96,0(

03,0.96,0

)P()./P()P()./P(

)P()./P( )/P(

= +

= +

=

+ =

MMPosMMPos

MMPos PosM

2. Une autre approche : diagramme en arbre, loi des probabilités composées, probabilités jointes :

Etat de la Résultat du Probabilités personne test jointesDonc P(M/Pos) = P(MPos)/P(Pos) = 0,0228/0,087 = 0,331. Donc, le test est peu fiable vu la faible proportion de malades dans la population.

M

M

Pos

Pos

Pos

Pos

0,0288

0,0012

0,0582

0,9118

0,03

0,97

0,04

0,96

0,94

0,96

P(Pos) = 0,087.

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Ex. rec. (1). 12 : Le recyclage du verre (I).

De petites particules de matières étrangères peuvent être trouvées dans le verre fondu provenant du groisil à partir duquel les bouteilles de verre sont faites.

Si une seule de ces particules est incorporée dans une bouteille, la bouteille doit être détruite.

Supposons que 10 bouteilles sont produites d'une certaine quantité de verre fondu dans lequel deux de ces particules sont dispersées aléatoirement.

Quel est le nombre de bouteilles que l'on devra détruire ?

Solution :

Chaque particule a une chance égale d’être incorporée dans chacune des 10

bouteilles. Ce qui veut dire qu’il existe 10 façons d’incorporer la première

particule et 10 façons d’incorporer la seconde, soit au total 10.10 = 100 façons

d’incorporer les deux particules parmi les 10 bouteilles.

Dans 10 de ces cas, les deux particules sont incorporées dans la même bouteille.

Dans les 90 autres cas, deux bouteilles sont contaminées au lieu d’une seule

dans le cas précédent.

Soit X, une v.a.d., = « Le nombre de bouteilles contaminées par au moins une

particule. ». L’intervalle de X, I = {1, 2} et il est possible d’écrire la distribution

de probabilité de X à partir de la formule classique :

X 1 2

P(X) 1/10 9/10

Donc E(X) = 0.0 + 1.0,1 + 2.0,9 = 1,9 bouteilles à détruire.

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Ex.rec. (1). 25 : La cantine de l’école.

Dans la cantine d’une école secondaire, on sait que par jour de grande chaleur, 40% des élèves achètent une glace à la récréation de midi. Certains l’achètent parce qu’ils ont chaud, d’autres par imitation. On a également remarqué que les filles achètent proportionnellement plus de glaces que les garçons. Après de nombreuses observations, on a même pu établir que 75% des acheteurs de glaces étaient des filles et que 90% des non-acheteurs étaient des garçons. N.B. Personne n’achète deux ou plusieurs glaces.

a) Quelle est la probabilité qu’une fille choisie au hasard le matin d’un jour de grande chaleur achète une glace à midi ?

b) Quelle proportion de la population totale des élèves de l’école représente le groupe des garçons qui n’achètent pas de glaces ce même jour ?

a)Supposant que l’école compte 720 filles, quelle est la population totale de l’école ? Combien de glaces pense-t-on vendre au total à la cantine un jour de grande chaleur ?

Solution :

a) Soit GL’élève achète une glace. » et {G,~G} un SCE.

Soit {F,B} un SCE avec FEtre une fille. » et BEtre un garçon. ».

On cherche P(G/F).

On a : P(F/G) = 0,75 ; P(B/~G) = 0,9 donc P(F/~G) = 0,1 ; P(G) = 0,4 ; et P(~G) = 1 - P(G) = 0,6.

Donc (Bayes) P(G/F) = [P(F/G).P(G)]/[ P(F/G).P(G) + P(F/~G).P(~G)] = [0,75*0,4]/[0,75*0,4 + 0,1*0,6] =

0,30/(0,30 + 0,06) = 0,30 / 0,36 = 5/6.

b) On cherche P(B∩~G), le plus simple est de développer un diagramme en arbre, ou d’utiliser la formule des probabilités composées :

P(B∩~G) = P(B/~G). P(~G) = 0,9 * 0,6 = 0,54 donc le groupe des garçons qui n’achètent pas de glaces ce jour là représente 54% de la population des élèves.

c) On cherche donc P(F) = (loi des probabilités totales) = P(F/G).P(G) + P(F/~G).P(~G) = 0,75*0,4 + 0,1*0,6 = 0,36.

Donc les 720 filles représentent 36% de la population de l’école, donc la population de l’école = (720/36) * 100 = 2000 élèves. On vendra donc 40% de 2000 glaces par jour de grande chaleur, soit 800 glaces.

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Ex. rec.(2). 19 : Mobilité urbaine.

Un bus-navette part toutes les demi-heures de la gare centrale de cette grande ville et fait le tour de la cité en trois étapes :

- Gare centrale (GC) – Grand-Place (GP) 3 km ; - Grand-Place – Cathédrale (C) 1,5 km ; - Cathédrale – Gare centrale 4,5 km.

A l’expérience, le chauffeurs de bus savent que quelque soit le moment de la journée, ils peuvent rencontrer aléatoirement une des trois conditions de trafic suivantes sur chaque tronçon du trajet : fluide, normal et dense avec diverses probabilités notées dans le tableau suivant et indépendantes les unes des autres.

Probabilités des conditions de trafic

Tronçon Fluide Normal Dense

GC-GP 0,5 0,1 0,4 GP-C 0 0,3 0,7 C-GC 0,6 0,4 0

En cas de trafic normal, le bus peut rouler à une vitesse moyenne de 30 km/h ; si le trafic est dense, sa vitesse moyenne est réduite de moitié par rapport à une situation normale tandis que si le trafic est fluide, cette même vitesse s’élève à 45 km/h.

a)On vous demande la distribution de probabilité et la fonction de répartition de la variable aléatoire X représentant le temps (en minutes) que mettra un bus pour parcourir les trois tronçons d’un trajet complet partant de la Gare centrale et y revenant.

Tableau 1 :

Probabilités des conditions de trafic et temps de parcours

Tronçon et longueur Fluide Normal Dense

GC-GP (3 km) 0,5 – 4 min 0,1 – 6 min 0,4 – 12 min GP-C (1,5 km) 0 0,3 – 3 min 0,7 – 6 min C-GC (4,5 km) 0,6 – 6 min 0,4 – 9 min 0

Le principe de multiplication (ou un diagramme en arbre) montre qu’il y a 3.2.2 = 12 configurations possibles de conditions de trafic pour le tour de la cité.

On reprendra dans le tableau 2 toutes les configurations possibles, leur probabilité jointe et le temps de parcours total associé.

N.B. XYZ dans la 1ère colonne du tableau 2 suivant signifie que l’on rencontre la condition X sur le tronçon GC-GP, Y sur GP-C et Z sur C-GP.

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Donc la distribution de probabilité de X, le temps de parcours peut s’écrire :

Tableau 3 : distribution de probabilité du temps de parcours total (X)

X(min) 13 15 16 18 19 21 24 27

P(X) 0,09 0,018 0,27 0,054 0,14 0,1 0,216 0,112

b)Quelle est l’espérance mathématique de X ? Que signifie sa valeur ?

Comme le montre le tableau 2, l’intervalle de X compte 8 valeurs différentes.

E(X) = )xP(X .x i 8

1 =∑

=i i = 19,7 minutes.

Il s’agit du temps moyen de parcours attendu a priori avant d’effectuer ce parcours.

Tableau 2

Configurations des conditions

de trafic

Probabilités jointes

(en °/oo)

Temps de parcours

total (min)

FNF

FNN

FDF

FDN

NNF

NNN

NDF

NDN

DNF

DNN

DDF

DDN

5.3.6 = 90

5.3.4 = 60

5.7.6 = 210

5.7.4 = 140

1.3.6 = 18

1.3.4 = 12

1.7.6 = 42

1.7.4 = 28

4.3.6 = 72

4.3.4 = 48

4.7.6 = 168

4.7.4 = 112

13

16

16

19

15

18

18

21

21

24

24

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